1.1. Натуральные числа (справочник ОГЭ)

1.1.1. Десятичная система счисления. Римская нумерация Натуральными называют числа, которые используются для счета предметов — 1, 2, 3, 4, . (число 0 не является натуральным). Множество натуральных чисел обозначают N. Запись «3  N» означает, что число три принадлежит множеству натуральных чисел, а запись «0  N» означает, что число нуль не принадлежит этому множеству. Десятичная система счисления — позиционная система счисления по основанию 10. Целое число A в десятичной системе счисления записывается в виде конечной линейной комбинации степеней числа 10. — цифры числа, причем a  0, n  N. Пример 1. 5 783 = 5 x 103 + 7 x 102 + 8 x 101 + 3 x 100. В римской нумерации цифры записывают с помощью букв латинского алфавита: 1 ––– I 8 ––– VIII 2 ––– II 9 ––– IX 3 ––– III 10 ––– X 4 ––– IV 50 ––– L 5 ––– V 100 ––– C 6 ––– VI 500 ––– D 7 ––– VII 1000 ––– M Пример 2. Записать числа, используя римскую нумерацию. 222 — CCXXII; 444 — CDXLIV; 555 — DLV; 545 — DXLV; 689 — DCLXXXIX; 1145 — MCXLV. 1.1.2. Арифметические действия над натуральными числами Для натуральных чисел определены следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Первые четыре действия являются арифметическими. Пусть a, b и c — натуральные числа. Законы сложения Равенство Переместительный a + b – b + a Сочетательный (a + b) + c – a + (b + c) Законы умножения Равенство Переместительный ab – ba Сочетательный (ab) • c – a • (bc) Распределительный закон: a(b + c) = ab + ac. Действия с нулем и единицей a + 0 = a a ■ 0 = 0 a : 1 = a a : a = 1 0 : a = 0 на 0 делить нельзя Пример 1. Используя законы сложения и умножения, вычислить устно значения выражений: а) 2 • 137 • 5; г) 73 • 17 + 27 • 17; б) 125 • 77 • 8; д) 4 • 63 + 4 • 79 + 142 • 6. в) 25 • 2 • 136 • 5 • 10 • 4; Решение: а) 2 • 137 • 5 = (2 • 5) • 137 = 10 • 137 = 1370; б) 125 • 77 • 8 = 77 • (125 • 8) = 77 • 1000 = 77 000; в) 25 • 2 • 136 • 5 • 10 • 4 = (25 • 4) • (2 • 5) • (136 • 10) = 100 • 10 • 1360 = = 1 360 000; г) 73 • 17 + 27 • 17 = 17 • (73 + 27) = 17 • 100 = 1700; д) 4 • 63 + 4 • 79 + 142 • 6 = 4 • (63 + 79) + 142 • 6 = 4 • 142 + 142 • 6 = 142 х х (4 + 6) = 142 • 10 = 1420. 1.1.3. Степень с натуральным показателем Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из который равен a: an = a • a • a • … • a, где a — основание степени, n — показатель степени. Степенью числа а с показателем 1 является само число а. Вычисление значения степени называют действием возведение в степень. Свойства степени с натуральным показателем (т е N; n е N) Свойства Примеры Пример 1. Вычислить: Решение: Пример 2. Найти значение выражения: Решение: 62n • 42 (3 • 2)2n • 16 32n • 22n • 16 16 — n 22(n+2) (32)n 22n+4 32n 22n 24 16 1.1.4. Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители Делителем натурального числа а называется натуральное число, на которое а делится без остатка. Пример 1. Число 12 имеет делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Число 1 является делителем любого натурального числа. Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Число, имеющее более двух делителей, называется составным. Пример 2. Числа 2, 3, 11, 23 — простые числа; числа 4, 8, 15, 27 — составные. Признак делимости произведения нескольких чисел: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Пример 3. Произведение 24 • 15 • 77 делится на 12, поскольку множитель этого числа 24 делится на 12. Признак делимости суммы (разности) чисел: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Если а: b и c: b, то (а + c): b. Здесь а, Ь и c — натуральные числа, знак ««» — делится. Пример 4. Число (77 + 99): 11, поскольку 77:11 и 99:11. Если а: b, а c не делится на b, то a + c не делится на число b. Пример 5. 21:3, а 22 не делится на 3. Это значит, что (21 + 22) не делится на 3. Пример 6. Исходя из того, что 25:5 и (25 + 15):5, делаем вывод, что 15:5. Если а: c и c: b, то а: b. Пример 7. Исходя из того, что 72:24 и 24:12, делаем вывод, что 72:12. Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители. Основная теорема арифметики: любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители только одним способом. При разложении числа на простые множители используют признаки делимости и применяют запись «столбиком», при которой делитель располагается справа от вертикальной черты, а частное записывают под делимым. Пример 8. Разложить на простые множители числа: а) 339; б) 1197. Решение: а) 330 2 330 = 2 • 3 • 5 • 11; б) 1197 3 1197 = 32 • 7 • 19 1.1.5. 1ризнаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 2 Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2 Существуют признаки делимости на 6, 15, 45 и т. д., т. е. на числа, произведение которых можно разложить на множители 2, 3, 5, 9 и 10. Пример 1. Признак делимости на 6 может выглядеть так: на 6 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3 и их последняя цифра делится на 2. Пример 2. Указать наибольшее натуральное число, делящееся на 5 и удовлетворяющее неравенству: а) 128 х 145; б) 1157 х 1160. Ответ: а) 140; б) 1160. Пример 3. На одной стоянке 26 автомобилей, на другой — на 1 больше, а на третьей — в 2 раза больше, чем на первой. Можно ли все автомобили разместить поровну на трех стоянках? Ответ: можно, поскольку общее число автомобилей: 26 + (26 + 7) + 26 • 2 = = 111. 111:3, т. к. 1 + 1 + 1 = 3 ;3. 1.1.6. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело каждое из двух данных натуральных чисел, называется наибольшим общим делителем этих чисел (НОД). Пример 1. НОД (10; 25) = 5; НОД (18; 24) = 6; НОД (7; 21) = 1. Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1, то эти числа называются взаимно простыми. Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) Действие Пример. Найти НОД (180; 840) 1. Разложить данные числа на простые 180 = 22 • 32 • 5 множители 840 = 23 • 3 • 5 • 7 2. Выписать все простые числа, которые НОД (180; 840) = 22 • 3 • 5 входят в каждое из полученных разложений Действие Пример. Найти НОД (180; 840) Каждое из выписанных простых чисел взять с наименьшим из показателей степени, с которыми оно входит в разложение данных чисел 3. Записать произведение полученных НОД (180;840) = 22 • 3 • 5 = 60 степеней Пример 2. Найти НОД (132; 180; 144). Решение: НОД (132; 180; 144) = 22 3 = 12. Ответ: 12. Пример 3. Между учениками одного класса поделили поровну 155 тетрадей и 62 ручки. Сколько учеников в этом классе? Решение: Нахождение количества учащихся этого класса сводится к нахождению наибольшего общего делителя чисел 155 и 62, поскольку тетради и ручки поделили поровну. 155 = 5 • 31; 62 = 2 • 31. НОД (155; 62) = 31. Ответ: 31 ученик. Кратным натурального числа а называется натуральное число, которое делится на а без остатка. Пример 4. Число 8 имеет кратные: 8, 16, 24, 32, . Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных. Наименьшим общим кратным (НОК) чисел называется наименьшее натуральное число, которое кратно этим числам. Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного (НОК) Действие Пример. Найти НОК (84; 90) 1. Разложить числа на простые множители 84 = 22 • 3 • 7 90 = 2 • 32 • 5 2. Вычислить все простые числа, которые НОК (84; 90) = 22 • 32 • 5 • 7 входят хотя бы в одно из разложений. Каждое из выписанных простых чисел взять с наибольшим показателем степени, с кото¬ рым оно входит в разложения данных чисел Действие Пример. Найти НОК (84; 90) 3. Записать произведение полученных степеней НОК (84; 90) = 1260 Пример 5. Найти НОК (18; 24; 30). Решение: 18 = 2 • 32; 24 = 23 • 3; 30 = 2 • 3 • 5. НОК (18; 24; 30) = 23 • 32 • 5 = 8 • 9 • 5 = 360. Пример 6. Два велосипедиста одновременно стартовали по велотреку в одном направлении. Один делает круг за 1 мин, а другой — за 45 с. Через какое наименьшее количество минут после начала движения они встретятся на старте? Сколько кругов по велотреку сделает каждый из них? Решение: Количество минут, через которое они снова встретятся на старте, должно делиться и на 1 мин, и на 45 с. 1 мин = 60 с. Таким образом, необходимо найти НОК (45; 60). 45 = 32 • 5; 60 = 22 • 3 • 5. НОК (45; 60) = 22 • 32 • 5 = 4 • 9 • 5 = 180. Значит, велосипедисты встретятся на старте через 180 с = 3 мин, при этом первый сделает 180 : 60 = 3 круга, а второй — 180 : 45 = 4 круга. Ответ: 3 мин; 3 круга, 4 круга. 1.1.7. Деление с остатком Если натуральное число а не делится нацело на натуральное число b, можно выполнить деление с остатком. При этом полученное частное называется неполным. Справедливо равенство: где а — делимое, b — делитель, n — неполное частное, r — остаток. Пример 1. Пусть делимое равно 243, делитель — 4, тогда 243 : 4 = 60 (остаток 3). То есть а – 243, b – 4, n – 60, r – 3, тогда 243 = 60 • 4 + 3. Числа, которые делятся на 2 без остатка, называются четными: Остальные числа называются нечетными: