1.2. Дроби (справочник ОГЭ) | ОГЭ для VIP

1.2. Дроби (справочник ОГЭ)

Справочник ОГЭ по математике. 1.2 ДРОБИ.

Содержание:

1.2.1. Обыкновенная дробь, основное свойство дроби. Сравнение дробей.
1.2.2. Арифметические действия с обыкновенными дробями.
1.2.3. Нахождение части от целого и целого по его части.
1.2.4. Десятичная дробь, сравнение десятичных дробей.
1.2.5. Арифметические действия с десятичными дробями.
1.2.6. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной и обыкновенной в виде десятичной.


ОГЛАВЛЕНИЕ  Перейти в другие разделы: 1.1.1.3.

 


 


Вы смотрели конспект по математике для подготовки к ОГЭ:

1.2.1. Обыкновенная дробь, основное свойство дрoби. Сравнение дробей.
1.2.2. Арифметические действия с обыкновенными дробями.
1.2.3. Нахождение части от целого и целого по его части.
1.2.4. Десятичная дробь, сравнение десятичных дробей.
1.2.5. Арифметические действия с десятичными дробями.
1.2.6. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной и обыкновенной в виде десятичной


Выберите дальнейшее действие:

— Перейти в Кодификатор ОГЭ по математике
— Перейти к Оглавлению Справочника ОГЭ по математике (Третьяк И.В.)
— Купить Справочник ОГЭ по математике (Третьяк И.В.)

OCR-версия текста данного раздела
1.2.1. Обыкновенная дробь, основное свойство дроби. Сравнение дробей Одна или несколько равных частей единицы называются обыкновенной дробью. Пример 1. Дробь 7 означает, что единицу разделили на 7 частей и взяли 3 таких части. Дробь можно рассматривать и как результат деления натуральных чисел. Частное от деления натуральных чисел а и b можно записать в виде дроби — где делимое а — числитель, а делитель b — знаменатель. Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной, а дробь, где числитель больше или равен знаменателю, — неправильной. Пример 2. Дроби — правильные, дроби — неправильные. Число, состоящее из целой и дробной частей, можно обратить в неправильную дробь. Для этого нужно умножить целую часть на знаменатель и к произведению прибавить числитель данной дроби. Полученная сумма будет числителем дроби, а знаменателем остается знаменатель дробной части. Пример 3. 5 Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Частное от деления — это целая часть, остаток — это числитель, делитель — это знаменатель. Пример 4. Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Основное свойство дроби используют при сокращении дробей. Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дробей. Пример 5. Наибольшим общим делителем дроби дробь можно сократить на это число: является число 25, поэтому Сокращение дробей можно проводить поэтапно с помощью признаков делимости. Пример 6. Сравнение дробей 1. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. Пример 7. 2. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Пример 8. Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно: 1) привести дроби к наименьшему общему знаменателю; 2) сравнить полученные дроби. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей (оно и будет их общим знаменателем); 2) разделить общий знаменатель на знаменатель данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. Пример 9. Сравнить дроби: а) Решение: а) НОК (7; 5) = 35. б) НОК (18; 27) = 54; 1.2.2. Арифметические действия с обыкновенными дробями Сложение и вычитание дробей 1. При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель. Полученную дробь, если возможно, сокращают и выделяют целую часть. Пример 1. 2. При сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями нужно предварительно привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) полученные дроби, используя правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями. Пример 2. Умножение дробей 1. Произведение двух дробей — и — равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей: 2. При умножении чисел, состоящих из целой и дробной частей, их предварительно представляют в виде неправильных дробей, а затем умножают согласно п. 1. Пример 3. Деление дробей Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1, т. е. дроби вида — и Ь являются взаимно обратными, например 1 и 3; 2 и 2′ Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное к делителю: При делении чисел, состоящих из целой и дробной части, нужно предварительно представить их в виде дроби и применить правило согласно п. 1. Пример 4. 1.2.3. Нахождение части от целого и целого по его части Нахождение части от целого (дроби от числа) Чтобы найти часть от целого, нужно число, соответствующее целому, разделить на знаменатель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на числитель той же дроби. Пример 1. На участке растет 36 деревьев. Из них растет на участке? Ответ: 20 деревьев. Решение: Задача нахождения части от целого по существу является задачей нахождения дроби от числа. Чтобы найти дробь (часть) от числа, необходимо число умножить на эту дробь. Пример 2. Решим предыдущую задачу умножением числа 36 на дробь Решение: Ответ: 20 деревьев. Пример 3. Среди 420 000 жителей города часть жителей не интересуется футболом и не смотрит футбольные матчи по телевизору. Остальные являются футбольными болельщиками. Среди болельщиков 7 смотрит по телевизору финальный матч чемпионата Европы. Сколько жителей города не смотрело этот матч? Решение: 1) 420 000 • — 70000 (жителей) — не интересуются футболом; 2) 420 000 – 70 000 = 350 000 (жителей) — футбольные болельщики; 3) 350000 • 7 — 250000 (жителей) — смотрели матч; 4) 420 000 – 250 000 = 170 000 — не смотрели матч. Ответ: 170 000 человек. Нахождение целого по его части (числа по его дроби) Чтобы найти целое по его части, нужно число, соответствующее этой части, разделить на числитель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на знаменатель той же дроби. Пример 4. За первый день лыжники прошли 38 км, что составляет маршрута. Какова длина маршрута? Решение: 1) 38 : 2 = 19 (км) — это 7 всего маршрута; 2) 19 • 7 = 133 (км) — длина маршрута. Ответ: 133 км. Задача нахождения целого по его части по существу является задачей нахождения числа по его дроби. Чтобы найти число по его дроби, необходимо данное значение разделить на эту дробь. Пример 5. Решим предыдущую задачу делением числа 38 на 7 Решение: Ответ: 133 км. Пример 6. Трое мышей нашли головку сыра. Одна мышь съела головки сыра, другая — остатка, а третья — остальные 15 кг сыра. Найти массу головки сыра. Решение: Примем целую головку сыра за 1. Тогда, после того как первая мышь съела головки, осталось: 1 части сыра. Вторая мышь съела остатка, т. е.: части сыра. Тогда третьей мыши досталось: части сыра, что составляет 1 кг. Тогда масса всей головки сыра составит: 1 кг : = 7 (кг). Ответ: 71 кг. 1.2.4. Десятичная дробь, сравнение десятичных дробей Дробные числа, знаменатель которых равен 10, 100, 1000 и т. д., можно записать не только в виде обыкновенных, но и в виде десятичных дробей. Обыкновенные 1 3 23 27 1 133 3 7371 дроби 10 10 10 100 100 100 1000 1000 Десятичные 0,1 0,3 2,3 0,27 0,01 1,33 0,003 7,371 дроби Десятичные дроби записывают аналогично записи многозначных натуральных чисел. тысячи сотни десятки единицы десятые сотые тысячные десяти¬ тысячные Например, число 327,0528 имеет 3 сотни, 2 десятка, 7 единиц, 0 десятых, 5 сотых, 2 тысячных, 8 десятитысячных. Если дробь правильная, то перед запятой в записи десятичной дроби ставят цифру 0, например Сравнение десятичных дробей 1. Из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть больше: 2. Если целые части дробей равны, то больше та дробь, у которой десятых больше. Если и десятые равны, то больше та дробь, у которой больше сотых, и т. д.: 1.2.5. Арифметические действия с десятичными дробями Сложение и вычитание десятичных дробей Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно: 1) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой; 2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой; 3) выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую; 4) поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях. Пример 1. Умножение десятичных дробей При умножении десятичных дробей сначала нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, а затем в произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их имеется после запятой в обоих множителях вместе. Пример 2. Умножение десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести запятую влево на сколько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе. Пример 3. а) 23,571 • 0,1 = 2,3571; г) 75 • 0,01 = 0,75; б) 5,3 • 0,1 = 0,53; д) 4,2 • 0,01 = 0,042; в) 0,37 • 0,1 = 0,037; е) 0,1 • 0,0001 = 0,00001. Деление десятичных дробей Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно: 1) разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую; 2) поставить в частном запятую после того, как закончено деление целой части; 3) если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целых. Пример 4. Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, ., нужно перенести влево запятую в этой дроби на сколько цифр, сколько нулей стоит после единицы в делителе. Пример 5. а) 571 : 10 = 57,1; г) 6,51 : 1000 = 0,00651; б) 241,3 : 100 = 2,413; д) 2 : 1000 = 0,002; в) 5,35 : 100 = 0,0535; е) 57 : 10 000 = 0,0057. Деление числа на десятичную дробь Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно: 1) в делимом и делителе перенести запятую вправо на сколько цифр, сколько их после запятой в делителе; 2) выполнить деление на натуральное число. Пример 6. а) 8,46 : 0,6 = 84,6 : 6 = 14,1; б) 0,00612 : 0,03 = 0,612 : 3 = 0,204; в) 27 : 0,15 = 2700 : 15 = 180. Деление десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в делителе перед единицей (т. е. умножить дробь на 10, 100, 1000, .). Пример 7. а) 37,89 : 0,1 = 378,9; б) 37,89 : 0,01 = 3 789; в) 37,89 : 0,001 = 37 890; г) 37,89 : 0,0001 = 378 900. 1.2.6. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной и обыкновенной в виде десятичной Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе — единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр справа от запятой. Если можно, дробь сократить. Пример 1. Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, следует разделить числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число. Пример 2. Не каждую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную. Если знаменатель обыкновенной дроби не содержит простых множителей, кроме 2 и 5, то эту обыкновенную дробь можно перевести в десятичную. Учитывая это правило, можно переводить обыкновенную дробь в десятичную не с помощью деления, а приведением ее к знаменателю 10, 100, 1000 путем умножения числителя и знаменателя этой дроби на недостающие множители. Пример 3. Заметим, что при разложении чисел 10, 100, 1000 и т. д. получается одинаковое количество двоек и пятерок. Представим в виде десятичных следующие дроби: а) —; б) 5; в) 1 — . Решение.
Метки:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.