1.3. Рациональные числа (справочник ОГЭ)

1.3.1. Целые числа Координатная прямая — это прямая с указанными на ней началом отсчета (точка О), направлением отсчета (указано стрелкой) и единичным отрезком (OA = 1). Числа, расположенные на координатной прямой справа от нуля, называют положительными, а слева — отрицательными. Число нуль не является ни положительным, ни отрицательным. Рис. 1.1 Точка A изображает число 1, которое называют координатой точки A и записывают: A(1). Аналогично записывают: О(0); M(2); А(–4). Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными числами. Например, 1 и —1, 2 и –2, 7 и –7 — противоположные числа. На координатной прямой противоположные числа расположены симметрично относительно начала отсчета. Числа натуральные, им противоположные, а также число нуль составляют множество целых чисел. Оно обозначается Z. Например, 5 е Z (число пять принадлежит множеству целых чисел), не является целым числом). Каждому целому числу можно поставить в соответствие единственную точку на координатной прямой. Иногда натуральные числа называют целыми положительными, а числа –1, –2, –3, . — целыми отрицательными. Целые числа Целые положительные: 0 Целые отрицательные: Пример 1. Какие целые числа расположены между: а) –4 и 2; б) –1,9 и 3,2; Ответ: а) –3; –2; –1; 0; 1; б) –1; 0; 1; 2; 3; в) 0. Пример 2. Сколько целых чисел расположено на координатной прямой между числами –154 и 61? Решение: Слева от нуля расположены числа от –152 до –1 включительно, т. е. их 153, далее само число нуль и положительные числа от 1 до 60, т. е. 60 чисел. Всего: 152 + 1 + 60 = 214. Ответ: 214 чисел. 1.3.2. Модуль (абсолютная величина) числа Модулем числа а называют расстояние от начала отсчета до точки, которая изображает это число на координатной прямой. Модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному: если a > 0, т. е. a — неотрицательное число, если a < 0, т. е. a — отрицательное число. Модуль любого числа есть величина неотрицательная. Модули противоположных чисел равны: Пример 1. Изобразить на координатной прямой целые значения х, при которых верно неравенство: Пример 2. Решить уравнения: а) |х| = 7; б) |х| = –9; в) |х| = 0; г) |х – 4| = 3. Ответ: а) –7; 7; б) решений нет; в) 0; г) 1 и 7. Пример 3. Записать выражение без знака модуля: а) |a – 2|; б) 5|a + 2|. Решение: По определению модуля имеем: 1.3.3. Сравнение рациональных чисел Число, которое можно записать в виде отношения p, где a — целое число, а n — натуральное, называют рациональным числом. Например, числа являются рациональными, поскольку 0,27 = Рациональные числа включают в себя целые и дробные числа. Рациональные числа Целые числа: –3; 0; 1; 15; . Дробные числа: ; 0,33; –7,5; . Множество рациональных чисел обозначают Q. На множестве Q можно производить действия сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на 0). Каждому рациональному числу можно поставить в соответствие единственную точку на координатной прямой. Из двух рациональных чисел больше то число, которое на координатной прямой расположено правее. Следовательно: а) всякое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного: б) всякое отрицательное число меньше нуля: в) из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше: Пример 1. Между какими соседними целыми числами лежит число: Ответ: а) 3 317. 4; б) –9 –8,4 –8; в) –1 –0,17 0. Пример 2. Записать три последовательных целых числа, большее из которых: Ответ: а) 1; 2; 3; б) –10; –9; –8; в) –2; –1; 0. Пример 3. Найти все целые значения х, при которых будут верны одновременно оба неравенства: а) –7 х 3 и Решение: Ответ: а) –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; б) –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4. 1.3.4. Арифметические действия с рациональными числами Сложение и вычитание рациональных чисел 1. При сложении рациональных чисел с одинаковыми знаками нужно сложить их модули и перед суммой поставить их общий знак. Пример 1. 2. При сложении двух рациональных чисел с разными знаками модуль суммы равен разности модулей слагаемых. Знак суммы совпадает со знаком слагаемого, имеющего больший модуль. Пример 2. 3. Сумма противоположных чисел равна нулю. Пример 3. 4. Чтобы вычесть из числа а число b, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: Пример 4. Свойства сложения Для любых рациональных чисел a, b и c выполняются равенства: 1) переместительное свойство: а + b – b + а; 2) сочетательное свойство: (а + b) + c – а + (b + c). Пример 5. Умножение и деление рациональных чисел 1. Произведение (частное) чисел одного знака есть число положительное. Пример 6. 2. Произведение (частное) двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Пример 7. Свойства умножения Для любых рациональных чисел а, b и c справедливы равенства: 1) действия с нулем и единицей: а • 1 = 1 • а 2) переместительное свойство: a • b – b • a. сочетательное свойство: (ab) • c – a (bc); 3) распределительное свойство: a(b + c) – ab + ac; Свойства деления Пример 8. Вычислить наиболее удобным способом: 1.3.5. Степень с целым показателем Множество целых чисел Z — это множество, состоящее из натуральных чисел, нуля и чисел, противоположных натуральным. Поэтому понятие степени an (n е N) можно расширить, если рассмотреть случаи, когда n — целое отрицательное число и n – 0. если a Ф 0 и n — целое число Пример 1. Пример 2. Свойства степени с целым показателем Пусть a — любое число, m и n — целые числа. Свойства Примеры Стандартный вид числа Стандартным видом числа называется его запись в виде a ■ 10n, где 1 a 10, n — целое число. Число n называют порядком числа. Пример 4. Представить число в стандартном виде: а) 1 370 000 = 1,37 • 106; б) 0,00000071 = 7,1 • 10–7; в) (1,1 • 10–2) • (3 • 10–6) = 1,1 • 3 • 10–2 • 10–6 = 3,3 • 10–8; г) (9,1 • 103) • (3 • 105) = (9,1 • 3) • (103 • 105) = 27,3 • 102 = 2,73 • 103; д) (6,1 • 10–4) • (2 • 10–6) = (6,1 • 2) • (10–4 • 10–6) = 12,2 • 1010 = 1,22 • 10–9; е) 2,3 • 10–2 + 1,5 • 10–3 = 2,3 • 10–2 + 0,15 • 10–2 = (2,3 + 0,15) • 10–2 = 2,45 • 10–2. 1.3.6. Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок. Законы арифметических действий Числовое выражение — это математическая запись, содержащая числа, скобки и знаки действий. Значением числового выражения называется число, которое получается в результате выполнения действия. Каждое числовое выражение имеет единственное значение или не имеет его совсем. Например, число 1 является значением числового выражения (3,7 – 2,7)2, 3,5 а выражение не имеет значения. Выражения, содержащие деление на нуль, не имеют значения, поскольку это действие невозможно выполнить. О таком выражении говорят, что оно не имеет смысла. Для того чтобы найти значение выражения, необходимо соблюдать порядок действий. Действия первой ступени — сложение и вычитание; действия второй ступени — умножение и деление; действие третьей ступени — возведение в степень. Порядок выполнения действий в числовом выражении 1. Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются действия в скобках. Если внутри скобок содержатся другие скобки, то сначала выполняются действия во внутренних скобках. 2. Сначала выполняются действия высшей ступени, затем низшей. 3. Действия одной и той же степени выполняются в том порядке, в котором они стоят в выражении. Пример 1. Найти значение выражения: 17 – (91,1 – 101,1)2 + (2,3 – 1,3)7 : (–2)3. Решение: Правило раскрытия скобок 1. Если перед скобками стоит знак «+», то, раскрывая скобки, можно: а) опустить скобки и знак «+»; б) записать слагаемые, стоящие в скобках, сохранив их знаки; в) если первое слагаемое, стоящее в скобках, записано без знака, то его нужно записать со знаком «+». Пример 1. 2. Если перед скобками стоит знак «—», то, раскрывая скобки, можно: а) опустить скобки и знак «–»; б) записать слагаемые, стоящие в скобках, поменяв знаки всех слагаемых на противоположные; в) если первое слагаемое, стоящее в скобках, записано без знака, то его нужно записать со знаком «–». Пример 2.