Проценты (теоретические сведения) | ОГЭ для VIP

Проценты (теоретические сведения)

Содержание раздела «Проценты»: определение, правила, решение задач  (коды контролируемых элементов Кодификатора ОГЭ по математике 1.5.4 — 1.5.5).

Проценты. Теоретические сведения
(коды 1.5.4 — 1.5.5)

Определение. Процентом от некоторой величины называется одна сотая её часть: 1 % это 1/100. Поэтому, чтобы найти 1 % от некоторой величины, нужно эту величину разделить на 100. Например, 1 % от 3000 р. равен 30 р.; 1 % от 2 кг равен 0,02 кг.

Для того чтобы свободно пользоваться этим понятием при решении задач и выполнении процентных расчётов, нужно уметь переходить от дробей к процентам и наоборот. Выразим, например, 0,04 школьного бюджета в процентах: 0,04 = 4/100 т. е. 0,04 это 4 %.

Можно пользоваться следующим правилом: чтобы часть величины, записанную десятичной дробью, выразить в процентах, надо перенести запятую на два знака вправо и приписать к полученному числу знак %:

0,52 некоторой величины это 52 % этой величины;
0,125 некоторой величины это 12,5 % этой величины;
1,7 некоторой величины это 170 % этой величины.

Для обратного перехода запятую нужно перенести в противоположном направлении: чтобы часть величины, записанную в процентах, выразить десятичной дробью, надо в числе, стоящем перед знаком %, перенести запятую на два знака влево:

32 % некоторой величины это 0,32 этой величины;
17,5 % некоторой величины это 0,175 этой величины;
150 % некоторой величины это 1,5 этой величины.

Если часть величины задана обыкновенной дробью, то, чтобы выразить эту часть в процентах, удобно записать дробь в виде десятичной (точно или приближённо). Например, 5/8 = 0,625, значит, 5/8 это 62,5 %.

Полезно помнить некоторые соотношения между процентами и дробями (см. таблицу). Это позволит во многих случаях упростить вычисления.

проценты

Пример 1. В начале года число абонентов Интернеткомпании «Север» составляло 200 тыс. человек, a в конце года их стало 210 тыс. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?

Решение: Сначала найдём, на сколько тысяч человек увеличилось число абонентов к концу года: 210 тыс. 200 тыс. = 10 тыс. Теперь найдём, сколько процентов составляет эта разница от первоначального числа абонентов. Для этого узнаем, какую часть от 200 тыс. составляют 10 тыс., и выразим полученную дробь в процентах: 10/200 = 0,05, т.е. число абонентов увеличилось на 5 %.

Пример 2. Стоимость акции при открытии предприятия составляла 80 р., a через пять лет её цена возросла на 30 %. Какова новая цена акции?

Решение: Способ 1. Сначала найдём 30 % от 80 р. Так как 30 % это 0,3, то надо 80 р. умножить на 0,3 и получить: 80 • 0,3 = 24 (р.). Новая цена акции равна 80 + 24 = 104 (р.). Способ 2. Первоначальную стоимость акции примем за 100 %. Через пять лет её стоимость увеличилась на 30 % и составила 100 % + 30 % = 130 % первоначальной цены. Выразим 130 % десятичной дробью: это 1,3. Значит, новая цена в 1,3 раза больше исходной. Умножив 80 на 1,3, получим требуемое число: 80 1,3= 104 (р.).

 Пример 3. За доставку шкафа покупатель заплатил 216 р. Сколько стоит шкаф, если стоимость доставки составляет 3 % стоимости товара?

Решение: Решим эту задачу сначала арифметическим способом (по действиям), a затем алгебраическим (составим уравнение). Способ 1. Выразим 3 % дробью: 3 % это 0,03. Чтобы найти число по известной его части, выраженной дробью, надо эту часть разделить на данную дробь: 216/0,03 = 7200 (р.). Способ 2. Эту же задачу можно решить, составив уравнение (такой способ для многих представляется более простым и естественным). Обозначим стоимость шкафа буквой х. Так как 0,03 этой стоимости составляет 216 р., то имеем уравнение: 0,03х = 216, х = 216/0,03 = 7200. Значит, шкаф стоит 7200 р.


Задачи «на концентрацию, смеси и сплавы» удобнее решать, составляя уравнение.

Пример 4. Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г сахарного сиропа, который содержит 20 % сахара, чтобы концентрация сахара в нём составила 12 %?

Решение: Сначала выясним, сколько граммов сахара содержится в 600 г сахарного сиропа. Для этого найдём 20 % массы сиропа: 600 • 0,2 = 120 г. Далее будем составлять уравнение.

Пусть х г масса добавленной воды. Тогда масса полученного сиропа составит (600 + х) г, a масса сахара, содержащегося в нем, составит 0,12 • (600 +л;) г.

После добавления воды изменилась концентрация сахара в сиропе, a масса сахара не изменилась. Поэтому можно составить уравнение: 0,12 • (600 + х) = 120.

Решив его, получим, что х = 400. Таким образом, нужно добавить 400 г воды.

Замечание. В данной задаче при вычислении массы сахара в сиропе можно было воспользоваться тем, что 20 % это пятая часть величины, поэтому, чтобы найти 20 % от 600 г, можно просто разделить 600 на 5.

 


Вы смотрели конспект «Проценты». Выберите дальнейшее действие:

✔ — Посмотреть Тренировочные задания по теме «Проценты».
✔ — Вернуться к Списку Тренировочных заданий по математике
✔ — Купить Книгу с тренировочными заданиями ОГЭ математика
Метки:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.