Проценты (теоретические сведения) | ОГЭ для VIP

Проценты (теоретические сведения)

Вначале теория, в конце — тренировочные задания. Содержание раздела «Проценты»: определение, правила, решение задач  (коды контролируемых элементов Кодификатора ОГЭ по математике 1.5.4 — 1.5.5).

Проценты. Теоретические сведения (коды 1.5.4 — 1.5.5)

Определение. Процентом от некоторой величины называется одна сотая её часть: 1 % это 1/100. Поэтому, чтобы найти 1 % от некоторой величины, нужно эту величину разделить на 100. Например, 1 % от 3000 р. равен 30 р.; 1 % от 2 кг равен 0,02 кг.

Для того чтобы свободно пользоваться этим понятием при решении задач и выполнении процентных расчётов, нужно уметь переходить от дробей к процентам и наоборот. Выразим, например, 0,04 школьного бюджета в процентах: 0,04 = 4/100 т. е. 0,04 это 4 %.

Можно пользоваться следующим правилом: чтобы часть величины, записанную десятичной дробью, выразить в процентах, надо перенести запятую на два знака вправо и приписать к полученному числу знак %:

0,52 некоторой величины это 52 % этой величины;
0,125 некоторой величины это 12,5 % этой величины;
1,7 некоторой величины это 170 % этой величины.

Для обратного перехода запятую нужно перенести в противоположном направлении: чтобы часть величины, записанную в процентах, выразить десятичной дробью, надо в числе, стоящем перед знаком %, перенести запятую на два знака влево:

32 % некоторой величины это 0,32 этой величины;
17,5 % некоторой величины это 0,175 этой величины;
150 % некоторой величины это 1,5 этой величины.

Если часть величины задана обыкновенной дробью, то, чтобы выразить эту часть в процентах, удобно записать дробь в виде десятичной (точно или приближённо). Например, 5/8 = 0,625, значит, 5/8 это 62,5 %.

Полезно помнить некоторые соотношения между процентами и дробями (см. таблицу). Это позволит во многих случаях упростить вычисления.

проценты

Пример 1. В начале года число абонентов Интернеткомпании «Север» составляло 200 тыс. человек, a в конце года их стало 210 тыс. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?

Решение: Сначала найдём, на сколько тысяч человек увеличилось число абонентов к концу года: 210 тыс. 200 тыс. = 10 тыс. Теперь найдём, сколько процентов составляет эта разница от первоначального числа абонентов. Для этого узнаем, какую часть от 200 тыс. составляют 10 тыс., и выразим полученную дробь в процентах: 10/200 = 0,05, т.е. число абонентов увеличилось на 5 %.

Пример 2. Стоимость акции при открытии предприятия составляла 80 р., a через пять лет её цена возросла на 30 %. Какова новая цена акции?

Решение: Способ 1. Сначала найдём 30 % от 80 р. Так как 30 % это 0,3, то надо 80 р. умножить на 0,3 и получить: 80 • 0,3 = 24 (р.). Новая цена акции равна 80 + 24 = 104 (р.). Способ 2. Первоначальную стоимость акции примем за 100 %. Через пять лет её стоимость увеличилась на 30 % и составила 100 % + 30 % = 130 % первоначальной цены. Выразим 130 % десятичной дробью: это 1,3. Значит, новая цена в 1,3 раза больше исходной. Умножив 80 на 1,3, получим требуемое число: 80 1,3= 104 (р.).

 Пример 3. За доставку шкафа покупатель заплатил 216 р. Сколько стоит шкаф, если стоимость доставки составляет 3 % стоимости товара?

Решение: Решим эту задачу сначала арифметическим способом (по действиям), a затем алгебраическим (составим уравнение). Способ 1. Выразим 3 % дробью: 3 % это 0,03. Чтобы найти число по известной его части, выраженной дробью, надо эту часть разделить на данную дробь: 216/0,03 = 7200 (р.). Способ 2. Эту же задачу можно решить, составив уравнение (такой способ для многих представляется более простым и естественным). Обозначим стоимость шкафа буквой х. Так как 0,03 этой стоимости составляет 216 р., то имеем уравнение: 0,03х = 216, х = 216/0,03 = 7200. Значит, шкаф стоит 7200 р.


Задачи «на концентрацию, смеси и сплавы» удобнее решать, составляя уравнение.

Пример 4. Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г сахарного сиропа, который содержит 20 % сахара, чтобы концентрация сахара в нём составила 12 %?

Решение: Сначала выясним, сколько граммов сахара содержится в 600 г сахарного сиропа. Для этого найдём 20 % массы сиропа: 600 • 0,2 = 120 г. Далее будем составлять уравнение.

Пусть х г масса добавленной воды. Тогда масса полученного сиропа составит (600 + х) г, a масса сахара, содержащегося в нем, составит 0,12 • (600 +л;) г.

После добавления воды изменилась концентрация сахара в сиропе, a масса сахара не изменилась. Поэтому можно составить уравнение: 0,12 • (600 + х) = 120.

Решив его, получим, что х = 400. Таким образом, нужно добавить 400 г воды.

Замечание. В данной задаче при вычислении массы сахара в сиропе можно было воспользоваться тем, что 20 % это пятая часть величины, поэтому, чтобы найти 20 % от 600 г, можно просто разделить 600 на 5.


Тренировочные задания по теме «Вычисления с рациональными числами»

(нажмите на картинку для увеличения, скачайте задания и распечатайте на принтере)

Проценты (теоретические сведения)

ОТВЕТЫ на Тренировочные задания

  1. 3.
  2. А3, Б1, В4, Г2.
  3. 1.
  4. 3.
  5. 3.
  6. 2.
  7. 2.
  8. а) 4; б) 3.
  9. 2.
  10. 16 380 р.
  11. 1.
  12. 2. Решение. Пусть стоимость товара на складе была х р., тогда его стоимость в магазине сначала составила 1,2х р., a на распродаже 1,2 • 0,8 = 0,96х р., что составляет 96% первоначальной (оптовой) стоимости; т. е. она уменьшилась на 4 %.
  13. 45 г. Решение. Сироп содержит 25 % (или четверть) сахара, что в граммах составляет 180 : 4 = 45 г. Эти 45 г в новом сиропе должны составлять 20 % (пятую часть), значит, общая масса сиропа будет равна 45*5 = 225 г. Значит, воды надо добавить 225 180 = 45 г.
  14. На 8 %й вклад 2000 р., на 10 %й вклад 1000 р. Решение. Пусть на первый вклад внесено х р., тогда на второй (3000 х) р. Через год на первом вкладе будет 1,08х р., на втором 1,1 (3000 х) р. Составим уравнение, учитывая, что всего на двух вкладах стало
    3260 р. : 1,08х + 1,1 (3000 – х) = 3260,
    откуда х = 2000. Значит, на первый вклад внесено 2000 р., на второй 3000 2000= 1000 р.
  15. На 20 %. Решение. Пусть упаковка печенья массой х кг стоила у р., т. е. стоимость печенья составляла у/х p./кг. Во время проведения акции масса упаковки стала равной 1,25х, a стоимость печенья у/1,25х p./кг. Найдём, во сколько раз изменилась стоимость печенья: Проценты (теоретические сведения) т. е. она уменьшилась на 20 %.

Вы смотрели конспект «Проценты». Выберите дальнейшее действие:

✔ — Перейти к Практическим занятиям по данной теме (онлайн-тестирование).

✔ — Вернуться к Списку Тренировочных заданий по математике (Кузнецова и др.)

✔ — Купить Книгу с тренировочными заданиями ОГЭ математика (Кузнецова и др.)

Метки: ,

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.