ОГЭ для VIP Математика Вычисления с рациональными числами

Вычисления с рациональными числами

Вычисления с рациональными числами
(коды КЭ 1.3.3 — 1.3.4)

Содержание раздела «Вычисления с рациональными числами»: сравнение и упорядочивание рациональных чисел, выполнение арифметических действий с рациональными числами (коды контролируемых элементов Кодификатора ОГЭ по математике 1.3.3 — 1.3.4).

Сравнение и упорядочивание рациональных чисел

Множество рациональных чисел образуют целые числа (натуральные, противоположные им отрицательные числа и число ноль) и дробные числа (положительные и отрицательные). Существуют две формы записи дробных рациональных чисел обыкновенные дроби и десятичные дроби, и важно знать о возможности перехода от одной формы к другой.
Десятичную дробь всегда можно представить в виде обыкновенной. (Например: ) Но не всякую обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной (точнее, конечной десятичной дроби).

Чтобы решить вопрос о возможности обращения обыкновенной дроби в десятичную, её прежде всего надо сократить. Несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби, если её знаменатель не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5. В противном случае такое представление невозможно.

Так, в виде конечной десятичной дроби можно записать обыкновенную дробь со знаменателями 2, 5, 8, 20, 25, 40, 50, состоящими только из «двоек» и «пятёрок». Такую дробь всегда можно привести к знаменателю, который записывается единицей с нулями. Например:
А дроби в конечные десятичные не обращаются. Если делить уголком числитель такой дроби на знаменатель, то деление никогда не закончится и получится бесконечная десятичная дробь. Например: 2/3 = 0,666… .

Для обыкновенных и десятичных дробей существуют свои правила сравнения и выполнения действий. Десятичные дроби сравнивают поразрядно. Например: 0,364 <0,463; 1,095 > 1,0104. Две обыкновенные дроби можно сравнить, приведя их к общему знаменателю. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Пример 1. Выясним, какая из двух дробей 5/6 или 7/9 больше. Наибольший общий знаменатель этих дробей равен Так как

Иногда, однако, две обыкновенные дроби удаётся сравнить и без приведения их к общему знаменателю, a действуя «по смыслу». Для этого полезно помнить следующие простые факты:
Вычисления с рациональными числами

При сравнении двух дробей иногда может помочь приём сравнения с «промежуточным числом». Сравним, например, дроби 4/9 и 6/11. Каждая из них близка к дроби 1/2, но легко понять, что значит,

Пример 2. Найдём наименьшее из чисел

Можно было бы представить дробь 0,7 в виде обыкновенной и затем привести все дроби к общему знаменателю. Но есть более простой способ решения этой задачи. Прежде всего исключаем дробь 9/7: она больше 1, a остальные числа меньше 1. Дробь 4/5 обращается в десятичную: 4/5 = 0,8. Так как 0,8 >0,7, то число 4/5 тоже исключается. Остаётся сравнить числа 0,7 и 7/9. Для этого запишем число 0,7 в виде обыкновенной дроби: 0,7 = 7/10. Так как 7/10 < 7/9, то наименьшим является число 0,7.

В рассмотренных примерах мы имели дело только с положительными числами. Если же среди чисел есть отрицательные, то следует пользоваться общими правилами сравнения положительных и отрицательных чисел.

  • любое отрицательное число меньше нуля и любого положительного числа (например, 100 < 0,01);
  • из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше, т. е. то, которое на координатной прямой расположено дальше от нуля (например, 1,5 < 0,5).

Выполнение арифметических действий с рациональными числами

При выполнении действий с обыкновенными дробями руководствуются следующими правилами (они представлены в буквенном виде):

Пример 3. Найдём произведение чисел
Чтобы воспользоваться соответствующим правилом, представим каждый из множителей в виде дроби:

Сложение, вычитание и умножение десятичных дробей сводится к соответствующему действию с натуральными числами; нужно только в результате определить положение запятой. Так, две десятичные дроби перемножают, не обращая внимания на запятые, a затем в произведении отделяют столько знаков справа налево, сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе. (Например, 1,4 0,7 = 0,98.)

Иначе обстоит дело с делением десятичных дробей. Дело в том, что частное двух натуральных чисел и десятичных дробей не всегда может быть выражено конечной десятичной дробью. Поэтому, если требуется вычислить частное десятичных дробей, лучше сразу перейти к обыкновенным дробям. Это можно сделать по-разному, например:

Если среди чисел, с которыми требуется выполнить арифметические действия, есть и обыкновенные дроби, и десятичные, их надо привести к какой-нибудь одной из этих форм. Например, разность 0,6 1/6 можно вычислить только в обыкновенных дробях, a сумму 3/4 + 0,4 как в обыкновенных, так и в десятичных.

Для выполнения действий с числами разных знаков существуют специальные правила, в каждом из них выделяются два обязательных момента: 1) способ определения знака результата; 2) способ нахождения модуля результата.

Пример 4. Вычислим произведение 0,01 • (2,5).

Пользуясь правилом «минус на минус даёт плюс», получаем, что произведение должно быть положительным. Чтобы найти модуль произведения, нужно перемножить модули входящих в него чисел: 0,01 • 2,5 = 0,025. Таким образом, 0,01 • (2,5) = 0,025.

Пример 5. Найдём значение разности 1,7 2,5:

1,7 2,5 = 1,7 + (2,5) = (2,5 + 1,7) = 0,8.

Решение состоит из следующих шагов:

1) заменили разность 1,7 2,5 суммой 1,7 + (2,5) (чтобы вычесть из одного числа другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому);

2) поставили в результате знак «минус» (сумма двух чисел разных знаков имеет знак того слагаемого, у которого модуль больше) и записали в скобках разность модулей (чтобы найти модуль суммы двух чисел разных знаков, нужно из большего модуля вычесть меньший);

3) вычислили значение выражения в скобках.

Пример 6. Найдём значение выражения 1,72,5:

1,7 2,5 = 1,7 + (2,5) = (2,5 + 1,7) = 4,2.

Прокомментируйте каждый шаг решения. Пользуйтесь тем, что:

  • сумма двух чисел одного знака имеет тот же знак, что и слагаемые;
  • модуль суммы чисел одного знака равен сумме модулей слагаемых.

 


Вы смотрели конспект «Вычисления с рациональными числами (коды КЭ 1.3.3 — 1.3.4)». Выберите дальнейшее действие:

✔ — Тренировочные задания по теме «Вычисления с рациональными числами»
✔ — Перейти к Списку Тренировочных заданий по математике
✔ — Купить Книгу с тренировочными заданиями ОГЭ математика

Оставить комментарий

На сайте используется ручная модерация. Срок проверки комментариев: от 1 часа до 3 дней

Похожие статьи

1.5. Измерения, приближения, оценки1.5. Измерения, приближения, оценки

Справочник ОГЭ по математике. Раздел 1.5. Измерения, приближения, оценки Содержание: 1.5.1. Единицы измерения длины, площади, объема, массы, времени, скорости. 1.5.2. Размеры объектов окружающего мира (от элементарных

1.3. Рациональные числа (справочник ОГЭ)1.3. Рациональные числа (справочник ОГЭ)

Справочник для ОГЭ по математике. Раздел 1.3. Рациональные числа Содержание: 1.3.1. Целые числа. 1.3.2. Модуль (абсолютная величина) числа. 1.3.3. Сравнение рациональных чисел. 1.3.4. Арифметические действия с

ОГЭ Математика. Тренировочный вариант 4ОГЭ Математика. Тренировочный вариант 4

ОГЭ 2020 Математика. Тренировочный вариант № 4 (оффлайн задания) с ответами и решениями. Составлен по проектам демоверсии и спецификации ОГЭ 2020 года (ФИПИ). Посмотреть все