Вычисления с рациональными числами
(коды КЭ 1.3.3 — 1.3.4)
Содержание раздела «Вычисления с рациональными числами»: сравнение и упорядочивание рациональных чисел, выполнение арифметических действий с рациональными числами (коды контролируемых элементов Кодификатора ОГЭ по математике 1.3.3 — 1.3.4).
Сравнение и упорядочивание рациональных чисел
Множество рациональных чисел образуют целые числа (натуральные, противоположные им отрицательные числа и число ноль) и дробные числа (положительные и отрицательные). Существуют две формы записи дробных рациональных чисел – обыкновенные дроби и десятичные дроби, и важно знать о возможности перехода от одной формы к другой.
Десятичную дробь всегда можно представить в виде обыкновенной. (Например: 
) Но не всякую обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной (точнее, конечной десятичной дроби).
Чтобы решить вопрос о возможности обращения обыкновенной дроби в десятичную, её прежде всего надо сократить. Несократимую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби, если её знаменатель не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5. В противном случае такое представление невозможно.
Так, в виде конечной десятичной дроби можно записать обыкновенную дробь со знаменателями 2, 5, 8, 20, 25, 40, 50, состоящими только из «двоек» и «пятёрок». Такую дробь всегда можно привести к знаменателю, который записывается единицей с нулями. Например: 
А дроби 
в конечные десятичные не обращаются. Если делить уголком числитель такой дроби на знаменатель, то деление никогда не закончится и получится бесконечная десятичная дробь. Например: 2/3 = 0,666… .
Для обыкновенных и десятичных дробей существуют свои правила сравнения и выполнения действий. Десятичные дроби сравнивают поразрядно. Например: 0,364 <0,463; 1,095 > 1,0104. Две обыкновенные дроби можно сравнить, приведя их к общему знаменателю. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Пример 1. Выясним, какая из двух дробей 5/6 или 7/9 больше. Наибольший общий знаменатель этих дробей равен 
Так как 
Иногда, однако, две обыкновенные дроби удаётся сравнить и без приведения их к общему знаменателю, a действуя «по смыслу». Для этого полезно помнить следующие простые факты:
При сравнении двух дробей иногда может помочь приём сравнения с «промежуточным числом». Сравним, например, дроби 4/9 и 6/11. Каждая из них близка к дроби 1/2, но легко понять, что 
значит, 
Пример 2. Найдём наименьшее из чисел 
Можно было бы представить дробь 0,7 в виде обыкновенной и затем привести все дроби к общему знаменателю. Но есть более простой способ решения этой задачи. Прежде всего исключаем дробь 9/7: она больше 1, a остальные числа меньше 1. Дробь 4/5 обращается в десятичную: 4/5 = 0,8. Так как 0,8 >0,7, то число 4/5 тоже исключается. Остаётся сравнить числа 0,7 и 7/9. Для этого запишем число 0,7 в виде обыкновенной дроби: 0,7 = 7/10. Так как 7/10 < 7/9, то наименьшим является число 0,7.
В рассмотренных примерах мы имели дело только с положительными числами. Если же среди чисел есть отрицательные, то следует пользоваться общими правилами сравнения положительных и отрицательных чисел.
- любое отрицательное число меньше нуля и любого положительного числа (например, –100 < 0,01);
- из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше, т. е. то, которое на координатной прямой расположено дальше от нуля (например, –1,5 < –0,5).
Выполнение арифметических действий с рациональными числами
При выполнении действий с обыкновенными дробями руководствуются следующими правилами (они представлены в буквенном виде):
Пример 3. Найдём произведение чисел 
Чтобы воспользоваться соответствующим правилом, представим каждый из множителей в виде дроби:
Сложение, вычитание и умножение десятичных дробей сводится к соответствующему действию с натуральными числами; нужно только в результате определить положение запятой. Так, две десятичные дроби перемножают, не обращая внимания на запятые, a затем в произведении отделяют столько знаков справа налево, сколько десятичных знаков содержится в обоих множителях вместе. (Например, 1,4 – 0,7 = 0,98.)
Иначе обстоит дело с делением десятичных дробей. Дело в том, что частное двух натуральных чисел и десятичных дробей не всегда может быть выражено конечной десятичной дробью. Поэтому, если требуется вычислить частное десятичных дробей, лучше сразу перейти к обыкновенным дробям. Это можно сделать по-разному, например:
Если среди чисел, с которыми требуется выполнить арифметические действия, есть и обыкновенные дроби, и десятичные, их надо привести к какой-нибудь одной из этих форм. Например, разность 0,6 – 1/6 можно вычислить только в обыкновенных дробях, a сумму 3/4 + 0,4 – как в обыкновенных, так и в десятичных.
Для выполнения действий с числами разных знаков существуют специальные правила, в каждом из них выделяются два обязательных момента: 1) способ определения знака результата; 2) способ нахождения модуля результата.
Пример 4. Вычислим произведение –0,01 • (–2,5).
Пользуясь правилом «минус на минус даёт плюс», получаем, что произведение должно быть положительным. Чтобы найти модуль произведения, нужно перемножить модули входящих в него чисел: 0,01 • 2,5 = 0,025. Таким образом, –0,01 • (–2,5) = 0,025.
Пример 5. Найдём значение разности 1,7 – 2,5:
1,7 – 2,5 = 1,7 + (–2,5) = –(2,5 + 1,7) = –0,8.
Решение состоит из следующих шагов:
1) заменили разность 1,7 – 2,5 суммой 1,7 + (–2,5) (чтобы вычесть из одного числа другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому);
2) поставили в результате знак «минус» (сумма двух чисел разных знаков имеет знак того слагаемого, у которого модуль больше) и записали в скобках разность модулей (чтобы найти модуль суммы двух чисел разных знаков, нужно из большего модуля вычесть меньший);
3) вычислили значение выражения в скобках.
Пример 6. Найдём значение выражения –1,7–2,5:
–1,7 – 2,5 = –1,7 + (–2,5) = –(2,5 + 1,7) = –4,2.
Прокомментируйте каждый шаг решения. Пользуйтесь тем, что:
- сумма двух чисел одного знака имеет тот же знак, что и слагаемые;
- модуль суммы чисел одного знака равен сумме модулей слагаемых.
Вы смотрели конспект «Вычисления с рациональными числами (коды КЭ 1.3.3 — 1.3.4)». Выберите дальнейшее действие: