Делимость натуральных чисел

Делимость натуральных чисел (коды КЭ 1.1.4 — 1.1.7)

Вначале теория, в конце — тренировочные задания. Содержание раздела «Делимость натуральных чисел»: делители и кратные, числа простые и составные, признаки делимости, делимость суммы и произведения, деление с остатком (коды контролируемых элементов Кодификатора ОГЭ по математике 1.1.4 — 1.1.7).

Делители и кратные

Пусть a и b — натуральные числа. Число a делится на число b, если существует натуральное число с такое, что a = bс.

Например, 60 делится на 15, так как 60 = 15 • 4. А вот на 16 число 60 не делится. В самом деле, 16 • 3 < 60, a 16 • 4 > 60, значит, нет такого натурального числа, которое в произведении с числом 16 даёт 60.

 Пример 1. Докажем, что сумма трёх последовательных натуральных чисел делится на 3.

Запишем сумму трёх последовательных натуральных чисел и преобразуем её:

n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3 (n + 1).

Рассматриваемая сумма равна произведению числа 3 и некоторого натурального числа, следовательно, она делится на 3.

Если число a делится на число b, то число b называют делителем числа а, a число a — кратным числа b. Например, 60 делится на 15. Значит, 15 — делитель числа 60, a 60 — кратное числа 15.

 Пример 2. Выясним, сколько делителей имеет число 24.

Воспользуемся методом перебора. Будем выписывать делители парами: отыскав один делитель, сразу же запишем и другой, являющийся частным от деления числа 24 на найденный делитель:

1

2 3 4
24 12 8

6

Таким образом, число 24 всего имеет 8 делителей.

Взяв некоторое натуральное число, можно найти все его делители. Иначе обстоит дело с кратными. Рассмотрим кратные числа 24. Для этого будем умножать 24 на 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. Получим последовательность кратных: 24, 48, 72, 96, 120, … . Эта последовательность бесконечна. Вообще, у любого натурального числа бесконечно много кратных.

При решении многих задач приходится находить общие делители и общие кратные двух и более чисел, в частности, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное (сокращённо НОД и НОК). НОД и НОК чисел a и b обозначают соответственно НОД (а; b) и НОК (а; b).

 Пример 3. С конечной остановки по двум разным маршрутам одновременно выезжают два автобуса. Первый возвращается каждые 30 мин, второй — каждые 40 мин. Через какое наименьшее время они снова окажутся вместе на конечной остановке?

Решение: Промежуток времени, через который автобусы первый раз окажутся на конечной остановке вместе, должен быть кратен и 30, и 40, т. е. быть их наименьшим общим кратным. Чтобы найти НОК (30; 40), будем перебирать числа, кратные 40, и проверять, делятся ли они на 30. Получим: 40; 80; 120; … . Так как 120 — первое число в ряду чисел, кратных 40, которое делится на 30, то НОК (30; 40) = 120. Таким образом, автобусы снова окажутся вместе на конечной остановке через 120 мин, т. е. через 2 ч.

 Числа простые и составные

 Определение. Натуральное число называется простым числом, если оно имеет только два делителя: 1 и самого себя.

Первыми простыми числами являются числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … . Наименьшее простое число — это число 2. Это единственное чётное простое число; все остальные простые числа нечётные. Простых чисел бесконечно много.

 Определение. Натуральное число, имеющее более двух делителей, называется составным.

Например, число 6 составное: оно делится не только на 1 и на 6, но ещё и на 2, и на 3.

Число 1 имеет только один делитель — само это число. Поэтому оно не является ни простым, ни составным числом.

Всякое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, или, как говорят, разложить на простые множители. Например: 90 = 2 • З2 • 5.

Таким образом, какое бы натуральное число (кроме 1) мы ни взяли, оно либо является простым, либо может быть разложено на простые множители.

Признаки делимости

Число делится на 10 в том и только в том случае, если оно оканчивается цифрой 0. Например, число 48 920 делится на 10, a число 48 902 на 10 не делится.

Число делится на 5 в том и только в том случае, если оно оканчивается цифрой 0 или цифрой 5. Например, числа 14 805 и 14 850 делятся на 5, a число 14 858 на 5 не делится.

Число делится на 2 в том и только в том случае, если оно оканчивается чётной цифрой (т. е. цифрой 0, 2, 4, 6 или 8). Например, числа 32 960, 32 984, 48 616 делятся на 2, a числа 47 901, 10 003 на 2 не делятся.

Число делится на 3 в том и только в том случае, если сумма цифр этого числа делится на 3.

Например, число 1545 делится на 3, a число 2638 на 3 не делится.

Число делится на 9 в том и только в том случае, если сумма цифр этого числа делится на 9.

Убедитесь самостоятельно, что число 2 143 503 делится на 9, a число 123 456 на 9 не делится.

 Пример 4. Докажем, что число 15426 делится на 18.

В самом деле, это число оканчивается чётной цифрой, значит, оно делится на 2. Сумма цифр этого числа равна 18, a значит, оно делится на 9. Отсюда и следует, что это число делится на 18.

Обобщением рассмотренного примера служит следующее утверждение: если числа a и b — взаимно простые и они являются делителями числа с, то делителем числа с является также и их произведение ab.

Взаимно простыми называют числа, которые не имеют общих делителей, отличных от 1. Если условие отсутствия общих делителей у чисел a и b, отличных от 1, не выполняется, то произведение ab может и не быть делителем числа с. Например, число 210 делится на 6 и на 10, но на 60 оно не делится.

 Делимость суммы и произведения

 Свойство 1. Если в произведении один из множителей делится на некоторое число, то и само произведение делится на это число.

Например, произведение 63 • 115 • 128 делится на 7, так как множитель, равный 63, делится на 7. (Докажите самостоятельно, что это произведение также делится на 5, на 2, на 3 и на 9.)

 Свойство 2. Если в сумме каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сама сумма делится на это число.

Например, в сумме 1248 + 356 + 402 все слагаемые — чётные числа. Поэтому и сама сумма является числом чётным.

 Свойство 3. Если в сумме одно из слагаемых не делится на некоторое число, a остальные делятся, то сумма на это число не делится.

Например, сумма 548 + 426 + 719 есть число нечётное, так как слагаемые 548 и 426 на 2 делятся, a 719 на 2 не делится.

 Обратите внимание: утверждение «если ни одно слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число» неверно. Это легко показать, приведя контрпример: так, ни одно из чисел 41 и 84 на 5 не делится, a их сумма, равная 125, делится на 5.

 Пример 5. Проверим, не выполняя деления, является ли число 11 делителем числа 1353.

Представим число 1353 в виде какой-либо суммы так, чтобы вопрос о делимости на 11 каждого из слагаемых был очевиден, например: 1353 = 1100 + 220 + 33. Каждое слагаемое делится на 11, a значит, и сумма, равная 1353, делится на 11.

Пример 6. Выясним, делится ли на 4 сумма четырёх последовательных натуральных чисел.

Запишем сумму четырёх последовательных натуральных чисел и преобразуем её:

n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6.

Первое слагаемое делится на 4, a второе не делится. Значит, рассматриваемая сумма на 4 не делится.

 Деление с остатком

В общем случае при делении одного натурального числа на другое получается остаток. Например, при делении числа 1000 на 45 получается неполное частное, равное 22, и остаток, равный 10. (Убедитесь в этом самостоятельно, выполнив деление уголком.) Поэтому число 1000 можно представить в виде суммы следующим образом: 1000 = 45 • 22 + 10.

Вообще, если при делении числа a на число b получается неполное частное q и остаток r, то верно равенство a = bq + r, при этом число r, как остаток от деления на b, всегда меньше b.

В том случае, когда число a кратно числу b, справедливо равенство a = bq + 0, поэтому можно считать, что в случае деления нацело получается нулевой остаток.

Говорить о делении с остатком можно и тогда, когда делимое a меньше делителя b. Пусть, например, a = 3 и b = 4, можно считать, что неполное частное равно 0, a остаток равен 3, и записать: 3 = 4 • 0 + 3.

Таким образом, для любых двух натуральных чисел a и b справедливо равенство a = bq + r (здесь q — натуральное число или 0, r — натуральное число, меньшее b, или 0). Иными словами, всякое натуральное число можно разделить на любое другое натуральное число с остатком.

Пример 7. Моторная лодка должна перевезти группу из 18 человек на другой берег реки. За какое минимальное количество рейсов это можно сделать, если лодка вмещает вместе с рулевым 5 человек?

Решение: За один рейс можно перевезти 4 туристов. А так как 18 = 4*4 + 2, то придётся сделать не менее 5 рейсов: за четыре рейса перевезти 16 пассажиров и ещё один рейс выполнить для 2 оставшихся пассажиров.

Пример 8. В кафе имеется некоторое количество чайных ложек. Когда их пересчитали десятками, то до полного десятка не хватило 2 ложек; когда их пересчитали дюжинами, то 8 ложек остались лишними. Сколько всего ложек, если известно, что их число не превосходит 100?

Решение: Из условия ясно, что при пересчёте ложек как десятками, так и дюжинами остаются лишними 8 ложек. Это означает, что при делении числа ложек и на 10, и на 12 получается один и тот же остаток, равный 8. Если 8 ложек убрать, то оставшееся число ложек будет кратно и 10, и 12, при этом оно не должно превосходить 100. С помощью перебора легко получить, что такое число только одно — это 60. «Возвратив» 8 ложек, получим, что всего имеется 68 ложек. (Проверьте самостоятельно ответ на соответствие условию.)

Остаток от деления обязательно меньше делителя — только в этом случае деление заканчивается. При делении на 2 в остатке могут быть числа 0 и 1, на 3 — числа 0, 1, 2, на 4 — числа 0, 1, 2, 3 и т. д. Количество возможных остатков равно делителю.

По остаткам от деления на некоторое число множество натуральных чисел можно разбить на классы, их будет столько же, сколько и остатков. Например, по отношению к числу 2 все натуральные числа разбиваются на класс чётных чисел и класс нечётных чисел:

2, 4, 6, 8, 10, 12, … — при делении на 2 дают в остатке 0;

1, 3, 5, 7, 9, 11, … — при делении на 2 дают в остатке 1.

По отношению к числу 3 множество натуральных чисел разбивается на три класса:

3, 6, 9, 12, 15, … — при делении на 3 дают в остатке 0 (числа, кратные 3);

1, 4, 7, 10, 13, … — при делении на 3 дают в остатке 1;

2, 5, 8, 11, 14, … — при делении на 3 дают в остатке 2.

Обратите внимание: если выписывать подряд натуральные числа, дающие при делении на некоторое число один и тот же остаток, то получается арифметическая прогрессия. Рассмотрите приведённые выше прогрессии и в каждом случае укажите первый член и разность прогрессии, a затем запишите формулу л-го члена. (Запомните формулу чётного числа, формулу нечётного числа, a также числа, кратного 3.)

Пример 9. Выясним, какой цифрой оканчивается число, являющееся значением выражения 2126.

Посмотрим, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2n с изменением показателя n:

21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24= 16, 25 = 32, 26 = 64, 27 = 128, 28 = 256, 29 = 512 и т. д.

Мы видим, что последняя цифра периодически повторяется, причём повторяющуюся группу цифр образуют четыре цифры: 2, 4, 8, 6. Значит, последняя цифра степени 2126 определяется тем, на каком месте это число стоит в соответствующей четвёрке. Чтобы узнать это, найдём остаток от деления числа 126 на 4. Так как 126 = 4* 31 +2, то в своей четвёрке число 126 стоит на втором месте, a значит, число, являющееся значением степени 2126, оканчивается цифрой 4.


Тренировочные задания по теме «Делимость натуральных чисел»

(нажмите на картинку для увеличения, скачайте задания и распечатайте на принтере)

Делимость натуральных чисел

ОТВЕТЫ на Тренировочные задания

  1. 4.
  2. 3.
  3. 1.
  4. 2.
  5. 3.
  6. 2.
  7. 4.
  8. 1 и 4.
  9. 3.
  10. 4; 1) 9+11 = 20, число 20 делится на 2, a 9 и 11 на 2 не делятся; 2) 94 = 36, число 36 делится на 12, но 9 и 4 на 12 не делятся; 3) чётное число 12 имеет нечётный делитель 3.
  11. а) 36; б) 6; в) 360; г) 12.
  12. 7 байдарок; ещё одного человека.
  13. 12.
  14. На 20м.
  15. 2. 16. 1 и 3.
  16. 4, это числа 1, ab, a и b.
  17. 13 или 49.
  18. 28 кусков, 20 см.
  19. Цифрой 9.
  20. Пять. Решение. В октябре 31 день, неделя равна 7 дням. Так как 31 = 7 • 4 + 3, то в октябре содержится 4 полные недели и ещё 3 дня. Четыре недели (каждая с пятницы по четверг) дают 4 воскресенья. Следующая неполная неделя тоже начинается в пятницу и длится три дня. Значит, последний день октября воскресенье. Таким образом, всего в октябре, начинающемся с пятницы, 5 воскресений.
  21. Решение. Из двух последовательных натуральных чисел одно чётное, другое нечётное. Так как в сумме одно число делится на 2, a другое не делится, то и сумма на 2 не делится. Значит, сумма есть число нечётное.
  22. Указание. Из двух последовательных натуральных чисел одно чётное, другое нечётное. Так как в произведении одно число делится на 2, a другое не делится, то произведение на 2 делится. Значит, сумма есть число чётное.
  23. Решение. Пусть в трёхзначном числе a сотен, a десятков, a единиц. Тогда его можно записать в виде: 100а + 10а + а. Преобразовав эту сумму, получим: 100а + 10а + a = 111а = 37 • 3 • а. Так как произведение 373 – a делится на 37, то и трёхзначное число, в котором a сотен, a десятков, a единиц, делится на 37.
  24. Решение. a = 7q + 3; b = 7p + 4; a + b = (7q + 3) + (7р + 4) = 7 (q + р) + 7 = 7 (q + р + 1).

Вы смотрели конспект «Делимость натуральных чисел». Выберите дальнейшее действие:

✔ — Перейти к Практическим занятиям по данной теме (онлайн-тестирование).

✔ — Перейти к Списку Тренировочных заданий по математике (Кузнецова и др.)

✔ — Купить Книгу с тренировочными заданиями ОГЭ математика (Кузнецова и др.)

Делимость натуральных чисел
5 (100%) 1 vote[s]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *