4. Числовые последовательности

Числовые последовательности 4.1.1. Понятие последовательности Числовая последовательность — это занумерованное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров: Число a1 называют первым членом последовательности, a2 — вторым членом последовательности и т. д., натуральное число n — его номером. Из двух соседних членов последовательности ak и а число а называют последующим по отношению к ak, число a — предыдущим по отношению к ak. Последовательность а1, а2, ., an, . считается заданной, если известно правило, по которому можно определить любой ее член an, n eN (n – натуральное число). Последовательности чаще всего задают двумя способами: 1) с помощью формулы n–го члена, т. е. формулы, которая позволит определить любой член последовательности по его номеру. Например, если последовательность задана формулой xn = x2 + 1, то пятый член последовательности x5 = 52 + 1 = 26; 2) с помощью рекуррентной формулы, т. е. формулы, которая выражает любой член последовательности через предыдущий. Например, an+1 = an – 1,5, тогда, если а1 = 17, то а2 = 17 – 1,5 = 15,5 и т. д. Рекуррентно можно задать, например, последовательность Фибоначчи: (an): a1 = a2 = 1, an+2 = an+1 + an, т. е. (an): 1; 1; 2; 3; 3; 5; 13; •» Последовательности бывают конечные и бесконечные. Последовательность называется конечной, если она имеет конечное число членов, например 3, 6, 9, 12. Конечной является последовательность однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Последовательность всех натуральных чисел бесконечна. Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего: xn+1 > xn. Например, последовательность 3, 6, 9, 12, … 3n … — возрастающая. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего: xn+1 xn. Например, последовательность –3; –4; –5; –6 — убывающая. Пример 1. Последовательность задана формулой n–го члена cn – –4n2 + 7. Найти: а) седьмой член последовательности; б) указать номер члена последовательности –393. Решение: Ответ: а) –189; б) 10. Пример 2. Последовательность задана условием b1 – –5, Ъп+1 Ответ: 0,6. Пример 3. Последовательность задана формулой an _ Ответ: 5. Пример 4. Доказать, что последовательность, задаваемая формулой общего члена 3n –1 — возрастающая. Рассмотрим разность: 3(n + 1) –1 3n –1 _ (3n + 2)(5n + 2) – (3n – 1)(5n + 7) Последовательность возрастающая. Пример 5. Числовая последовательность задана рекуррентной формулой an+2 _ an – an+1 и условиями a1 = 1, a2 = 3. Вычислить четвертый член последовательности. Ответ: 10. Пример 6. Последовательность задана формулой n–го члена. Записать (n – 1)–й, (n + 1)–й, (n + 5)–й члены, если 4.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии 4.2.1. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена арифметической прогрессии Арифметической прогрессией (АП) называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому добавляют одно и то же число. Это число для данной последовательности называют разностью и обозначают d. Первый член и разность прогрессии могут быть любыми числами. Арифметическая прогрессия бывает: • возрастающей, если разность d > 0; • убывающей, если разность d 0. Например, прогрессия 1, 3, 5, 7, . — возрастающая, d – 2 > 0; а прогрессия –4, –7, –10, . — убывающая, d – –3 0. Последовательность (an) — арифметическая прогрессия, если ее можно задать рекуррентной формулой: Чтобы задать арифметическую прогрессию (АП), достаточно задать ее первый член и разность. Основное соотношение для АП Формула n–го члена: Характеристическое свойство АП Любой член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов: Свойство двух членов АП Пример 1. Указать первый член и разность АП: 1, –5, –11, –17, . Ответ: а1 – 1; d – –6. Пример 2. Записать первые пять членов АП, если а1 _ –л/2; d – 2*j2. Ответ: – 2; –v/2; 3л/2; 5 2; 7>/2. Пример 3. Найти разность АП, если а1 = –4, а9 = 0. Ответ: 2 Пример 4. Найти формулу n–го члена АП, если а2 – –7, а7 – 18. Ответ: а – 5n – 17. Пример 5. При каких n члены арифметической прогрессии 13, 11, 9, . отрицательны? т. е. начиная с n – 8 члены этой прогрессии будут отрицательны. Пример 6. Найти первый член и разность АП, если x7 – x3 = 24, x3 • x5 = 64. Решение: Подставим во второе уравнение: (x1 + 12)(x1 + 24) = 64; xf + 36×1 + 224 _ 0; x1 = –28; x2 = –8. Оба корня удовлетворяют условию задачи. Ответ: x1 – –28; d – 6 или x1 = –8; d – 6. Пример 7. Найти а7 и d в АП, если а6 – –2,3; а8 – –2,8. Ответ: а7 – –2,55; d – –0,25. Пример 8. Между числами 0,2 и 2,6 вставить пять чисел так, чтобы эти числа образовали АП. Решение: а1 – 0,2. Если вставим еще пять чисел, то а7 – 2,6. Тогда получаем прогрессию: 0,2; 0,6; 1; 1,4; 1,8; 2,2 и 2,6. Пример 9. В первом ряду кинотеатра 30 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в 7–м ряду, в ряду под номером n? Ответ: 72 места; (6n + 24) места. Пример 10. Свободно падающее тело проходит за первую секунду 4,8 м, а в каждую последующую секунду — на 9,8 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние пройдет тело за седьмую секунду? Ответ: 63,6 м. Пример 11. Девушка в солярии загорала первый день 3 мин, а каждый последующий день увеличивала свое пребывание в солярии на 2 мин. Сколько процедур она прошла, если в последний день загорала 11 мин? Ответ: 5 процедур. Члены последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого на горизонтальной оси откладывают номер члена последовательности, а по вертикальной — соответствующий член последовательности. Пример 12. На рис. 4.1 изображены точками первые семь членов арифметической прогрессии. Найти а1, d, а4 и а7. 4.2.2. Формула суммы первых нескольких членов арифметической прогрессии Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна полусумме ее крайних членов, умноженной на число членов: Пример 1. Найти сумму первых одиннадцати членов АП, если а1 = 0,5; d – –2. Ответ: –16,5. Пример 2. Сколько нужно взять последовательных натуральных чисел, начиная с 1, чтобы их сумма равнялась 210? Ответ: 20. Пример 3. Найти сумму натуральных чисел не больше 100, которые при делении на 5 дают остаток 1. Ответ: 970. Пример 4. Найти х из уравнения 1 + 5 + 9 + . + х = 435. Ответ: 57. Пример 5. В арифметической прогрессии (xn): х4 + х2 – х3 = 4; х5 + х3 = 20. Найти сумму девяти первых членов прогрессии. Решение: Получим систему уравнений: Ответ: 144. Пример 6. В арифметической прогрессии a3 + a – 12. Найти S13. Решение: Ответ: 78. Пример 7. Найти a1 и d арифметической прогрессии, если S5 = 65 и S10 = 230. Ответ: a1 – 5; d – 4. Пример 8. Для асфальтирования участка длиной 99 м используются два катка. Первый каток был установлен в одном конце участка, второй — в противоположном. Работать они начали одновременно. За первую минуту второй каток прошел 1,5 м, а за каждую последующую — на 0,5 м больше, чем за предшествующую. Первый каток каждую минуту проходил 5 м. Через сколько минут оба катка встретятся? Решение: Пусть два катка встретились через х минут. Движение первого катка проходит по законам арифметической прогрессии, где a1 = 1,5; d – 0,5. Нужно найти сумму х членов этой прогрессии, поскольку двигался каток х мин: Ответ: через 11 минут. 4.2.3. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена геометрической прогрессии Геометрической прогрессией (ГП) называется числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, не равное нулю. Это постоянное для данной последовательности число называется знаменателем последовательности и обозначается q. Геометрические прогрессии бывают возрастающие, убывающие, конечные и бесконечные. Например, 1, 3, 9, 27, . — бесконечная возрастающая ГП (q = 3 > 1); 1, 1, 1″, 1, — бесконечно убывающая ГП ^q _ 1 1^; 3, 12, 48 — конечная прогрессия, q – 4. Характеристическое свойство ГП Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов. Признак геометрической прогрессии Если члены некоторой последовательности, начиная со второго, удовлетворяют свойству bf _ bn–1 • bn+1, то эта последовательность — геометрическая прогрессия. Характеристическое свойство можно обобщить: Свойство двух членов геометрической прогрессии Пример 1. Найти первый член и знаменатель ГП: а) 3, 12, 36, .; б) 3, –3уЩ, 6, . Пример 2. Найти первые пять членов ГП, если: а) b1 = 2, q – –2; б) b1 = Пример 3. Найти b4, если b1 = 2; q – 1 Пример 4. Записать формулу n–го члена ГП: 3; –4; ; . Пример 5. Прогрессия задана числами: –1, 2, –4, . Найти номер члена ГП, если он равен 128. Ответ: 8. Пример 6. Найти b7 геометрической прогрессии, если b6 = –5, b8 = –125. Пример 7. Найти b1 и q геометрической прогрессии, если b6 = 96, b9 = 768. Пример 8. Найти четыре последовательных члена ГП, из которых второй член меньше первого на 35, а третий больше четвертого на 560. 4.2.4. Формула суммы первых членов геометрической прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Сумму п членов геометрической прогрессии вычисляют по формулам: Пример 1. Найти сумму первых шести членов ГП, если: Пример 2. Найти сумму членов ГП, если b3 = 18, b6 = 484, n – 7. Ответ: 2 186. Пример 3. Найти сумму членов ГП, если bn – 384, q – 2, n – 8. Ответ: 765. Пример 4. Первый член ГП (xn) равен 2, третий — 18. Сколько первых членов необходимо взять, чтобы сумма равнялась 242? Не существует натурального n, удовлетворяющего этому равенству. Ответ: 5. Пример 5. Сумма первого и третьего членов ГП равна 15, а сумма второго и четвертого — 30. Найти сумму первых десяти ее членов. Ответ: 3 069. Пример 6. Доказать тождество: (х – 1)(xn–1 + xn 2 + . + 1) = xn –1, где n е N, n > 1. Доказательство: Рассмотрим второй множитель xn–1 + xn2 + . + 1. Очевидно, что сумма членов геометрической прогрессии, которую можно записать в виде 1 + x + x2 + . xn2 + + xn1, где первый член b1 = 1; q – x, количество членов равно n: что и требовалось доказать. Если x — 1, то равенство превращается в тождество вида 0 = 0. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой по модулю меньше единицы (|q| 1), называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число, к которому приближается сумма n первых членов прогрессии, если n бесконечно увеличивается. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии Пример 7. Найти сумму бесконечно убывающей ГП –4; –2; –1; . Ответ: 8. Пример 8. Найти второй член бесконечно убывающей ГП, знаменатель которой равен —, а сумма прогрессии — 72. Ответ: 16. Пример 9. Упростить выражение:. Пример 10. Решить уравнение:. Пользуясь формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, можно записывать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде десятичной. Пример 11. Записать число 0,(6) в виде обыкновенной дроби. Пример 12. Записать бесконечную десятичную дробь 5,4(23) в виде обыкновенной дроби. Решение: 4.2.5. Сложные проценты Понятие сложного процента встречается при увеличении (уменьшении) числа на p % несколько раз (ежегодно, ежемесячно, ежедневно) без изъятия прироста, т. е. каждый год начисляется процент с учетом наращенной величины. Формулы сложных процентов приходится использовать бухгалтерам и работникам банков. Кроме того, формулу используют для определения численности населения страны или города, роста поголовья скота и т. д. Решение задач на сложные проценты основано на использовании следующих понятий и формул. Пусть некоторая переменная величина A, зависящая от времени t, в начальный момент t – 0 имеет значение A0, а в некоторый момент времени t1 имеет значение A1. Абсолютным приростом величины A за время t1 называется разность A1 – A0. Относительным приростом величины A за время t1 называется отношение: Процентным приростом величины A за время t1 называется: Таким образом, вложенный начальный капитал A0 под p % годовых через n лет превратится в наращенный капитал An: An = А0 1 + Ю0 Вычислять сложные проценты удобно с помощью таблицы, если ввести коэффициент увеличения k. Пример 1. Начальный вклад в банк составил 3 000 рублей. За год начислялось 12 % годовых. Найти сумму вклада через 5 лет. Пример 2. Предприятие работало три года. Производство продукции за второй год работы предприятия возросло на p %, а на следующий год оно стало на 10 % больше, чем в предыдущий. Определить, на сколько процентов увеличилось производство за второй год, если известно, что за два года оно увеличилось в общей сложности на 48,59 %. Ответ: 17 %. Пример 3. Телевизор в начале года стоит 15 200 рублей. По условиям акции, если он не продается, его цена через год уменьшается на 5 %. Сколько будет стоить телевизор через 3 года, если он не будет продан? Ответ: 13 032 рублей 10 копеек. Числовые последовательности.