3.2. Неравенства (справочник ОГЭ)

3.2.1. Числовые неравенства и их свойства Определение. Выражения а > b и а b называются неравенствами На координатной прямой большее число а b изображается точкой, которая расположена справа от меньшего числа, а меньшее m n k число точкой, которая расположена m n k слева от большего числа Знаки > и < знаки строгих неравенств а b, m > k (а меньше b; m больше k) Знаки ≥ и ≤ знаки нестрогих неравенств p n (p меньше или равно n или p не больше n); С помощью определения неравенства можно доказывать неравенства. Пример 1. Доказать, что при любых значениях а неравенство верно: (а + 7)(а + 1) (а + 2)(а + 6). Доказательство: Найдем разность правой и левой частей неравенства: (а + 2)(а + 6) – (а + 7)(а + 1) = а2 + 6а + 2а + 12 – а2 – а – 7а – 7 = 5 > 0. Это значит, что правая часть неравенства при любых а больше левой части, что и требовалось доказать. Этим методом доказываются так называемые опорные неравенства. Пример 2. Доказать, что сумма двух положительных взаимно обратных чисел не меньше двух: а b > 2, где а > 0, b > 0. b а Доказательство: Найдем разность правой и левой частей неравенства: поскольку (а – b)2 > 0, а > 0, b > 0. Равенство достигается, если а – b. Аналогично доказывается, что среднее арифметическое двух чисел среднее геометрическое (аЬ) и среднее гармоническое положительных чисел связаны соотношением: ab , а > 0, b > 0. С помощью опорных неравенств, в свою очередь, можно доказывать ряд неравенств. Пример 3. Доказать неравенство: (а + b)^b + 1) > 4а^ если а > 0, b > 0. Доказательство: Используем опорные неравенства: а + b > у/аЪ, а > 0, b > 0. Запишем верные неравенства: а + b > у[аЕ и °b^ 1 > у[оЪ. Почленно перемножим эти неравенства, получим: что и требовалось доказать. Основные свойства числовых неравенств Свойства Примеры Если а > b, то b а; Если 10 > 2, то 2 10; если а b, то b > а если –7 –1, то –1 > –7 Свойство транзитивности: Если 10 > 1 и 1 > –4, то если а > b и b > c, то а > c 10 > –4 Если к обеим частям верного неравенства прибавить Если 20 > 3, то 20 + 1 > 3 + одно и то же число, то получим верное неравенство: + 1, т. е. 21 > 4 и 20 – 4 > если а > b, то а + c > b + c > 3 – 4, т. е. 16 > –1 Свойства Примеры Если обе части верного неравенства умножить на Если 7 > –3,1 и 5 > 0, одно и то же положительное число, то получим то 7 • 5 > –3,1 • 5, т. е. верное неравенство: 35 > –15,5 если а > b и c > 0, то ас > bc Если обе части верного неравенства умножить на Если 10 > 2 и –2 0, то одно и то же отрицательное число и знак нера– –2 • 10 2 • (–2), –20 –4 венства изменить на противоположный, то получим верное неравенство: если а > b; с 0, то ас bc или а b; с 0, то ас > bc Если почленно сложить два верных неравенства одного знака, то получим верное неравенство: + Если а, b, с и d ––– положительные числа, при– 20 > 4 чем а > b и с > d, то ас > bd, т. е. если почленно х 2 1 перемножить верные неравенства одного знака, > все члены которых ––– положительные числа, то 5 5 получим верное неравенство Если а > b и с d, то а – с > b – d Если 20 > 3 и 4 10, то 20 – 4 > 3 – 10, 16 > –6 Если а > b > 0, то 1 1 Если 7 > 3. Если а > b > 0, то для любого натурального числа Если 5 > 2, п – 6, то n верно неравенство ап > bn 56 > 26 Пример 4. Известно, что –3 a 7. Оценить: а) 2а + 7; б) 3а – 1; в) 4 – 2а; г) –——. Решение: а) –3 а 7, тогда –6 2а 14 и –6 + 7 2а + 7 14 + 7, т. е. 1 2а + 7 21; б) –3 а 7, тогда –9 3а 21, то –10 3а – 1 20; в) –3 а 7. Умножим почленно двойное числовое неравенство на –2, получим: –3 • (–2) > –2а > 7 • (–2) или –14 –2а 6. Тогда 4 – 14 4 – 2а 4 + 6, т. е. –10 4 – 2а 10; г) –3 а 7, тогда –3 • 7 –3а –3 • (–3); –21 –3а 9; 1 – 21 1 – 3а 1 + 9; on о щ п 20 1 – 3а 10 _ 1 – 3а _ _ –20 1 – 3а 10. Получим – ; –5 2,5. Пример 5. Доказать, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин больше полупериметра этого треугольника. Решение: Пусть x, у и z — расстояния от внутренней точки M до вершин треугольника. Из получившихся трех треугольников AMB, BMC и AMC по теореме о неравенстве треугольников (сумма двух любых сторон треугольника больше третьей стороны) имеем: x + у > c 3.2.2. Неравенство (линейное) с одной переменной. Решение неравенства Линейным неравенством называется неравенство вида ax + b > 0 (или ax + b 0), где а и b — некоторые числа, x — переменная. К линейным относятся также нестрогие неравенства вида ax + b > 0 (или ax + b 0). Решением линейного неравенства с одной переменной называется такое число, при подстановке которого вместо переменной неравенство обращается в верное числовое неравенство. Например, значение x – 1 является решением неравенства 5x – 4 > 0, поскольку 5 • 1 – 4 > 0, т. е. 1 > 0 — верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет. Равносильными называют неравенства, имеющие одинаковые решения. Неравенства, не имеющие решений, также называются равносильными. Например, неравенства 4x – 8 > 0 и 3x – 6 > 0 равносильны. При решении неравенств используют следующие свойства: Свойства Примеры Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное 5x + 3x > 5 – 3 + 1 – 6 ему неравенство 8x > –3 Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак б) – 3 > 9 {» 3); x s –15 неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство Рассмотрим примеры решений линейных неравенств и способы изображения множества решений этих неравенств. Пример 1. Решить неравенство: –x + 3(–7 + 5x) > 7x + 7. Решение: Упростим левую и правую части неравенства: раскроем скобки и перенесем члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены, не содержащие неизвестное, — в правую: После приведения подобных слагаемых разделим обе части неравенства на 7. Получим x > 4. Множество чисел, удовлетворяющих этому неравенству, на числовой оси изображается открытым 4 лучом (рис. 3.5). Число 4 не принадлежит этому лучу, на рисунке изображается пустой точкой, луч отмечен штриховкой. Кроме того, множество решений неравенства записывают в виде x е (4; +да>). Читают: «x принадлежит открытому числовому лучу от 4 до бесконечности» (+да> — знак, обозначающий бесконечно большие положительные числа). Аналогично множество чисел, удовлетворяющих неравенству x –3, изображается открытым лучом, –з и множество решений записывают в виде (–да; –3) рис 3.6. Число –3 не принадлежит этому лучу, поэтому оно изображено пустой точкой на числовой оси и в записи возле него ставится круглая скобка (знак «–да» читается «минус бесконечность» и означает бесконечно большие отрицательные числа). В свою очередь множество чисел, удовлетворяющих, например, неравенству x > 5, изображают на 5 числовой прямой и называют лучом, пишут: Рис. 3.7 Читают: «x принадлежит лучу от пяти до плюс бесконечности». Число 5 принадлежит этому лучу, поэтому на числовой прямой оно отмечено закрашенной точкой. В записи возле него стоит квадратная скобка. Аналогично изображается решение неравенства, например x 1 (рис. 3.8). x е (–да; 1]. Пример 2. Найти наименьшее число, являющееся решением неравенства: а) 4(x – 1) 2 + 7x; б) 6у + 1 > 2(у – 1) Решение: а) 4(x – 1) 2 + 7x; 4x – 4 2 + 7x; 4x – 7x 2 + 4; –3x 6; x > –2 (рис. 3.9). Луч (–2; +да>) — открытый, и число –2 не входит в множество решений этого неравенства. Поэтому наименьшее целое число, являющееся решением неравенства, — это число –1. б) 6у + 1 > 2(у – 1) + 3у; 6у + 1 > 2у – 2 + 3у; ____ 6у – 2у – 3у > –2 – 1; у > –3 (рис. 3.10). Луч [–3; +да>) содержит число –3, поэтому наименьшим числом, являющимся решением этого неравенства, будет число –3. Ответ: а) –1; б) –3. Пример 3. Найти наибольшее целое число, являющееся решением неравенства: а) –3x – 6 > 7x + 4; б) 6x + 1 0. Решение: а) –3x + 6 > 7x + 4; –3x – 7x > 6 + 4; –10x > 10; x –1 (рис. 3.11). Луч (–да; –1] содержит число –1, поэтому наибольшим целым числом, являющимся решением данного неравенства, будет число –1. б) 6x + 1 0; 6x –1; x –1 (рис. 3.12). Наибольшим целым числом, являющимся решением данного неравенства, будет число –1. Ответ: а) –1; б) –1. 3.2.3. Линейные неравенства с одной переменной и сводящиеся к ним Основные свойства линейных неравенств рассмотрены в предыдущем пункте. Рассмотрим более сложные неравенства, задачи на составление неравенств и линейные неравенства с параметрами. Линейные неравенства могут не иметь решений или иметь бесчисленное множество решений. Пример 1. Решить неравенства: Решение: а) Домножим все члены неравенства на общий знаменатель этих дробей, т. е. число 4 > 0. Знак неравенства не изменится. Получили верное числовое неравенство, значит, при любых значениях x неравенство верно. б) Домножим все члены неравенства на 3 > 0. Получили неверное числовое неравенство, т. е. при любых значениях x верного числового неравенства получить не сможем. Ответ: а) x — любое число; б) решений нет. Пример 2. Решим задачу на составление неравенства. Из двух пунктов, находящихся на расстоянии 30 км, отправляются одновременно навстречу друг другу велосипедист и пешеход. Скорость движения велосипедиста 12 км/ч. С какой скоростью должен двигаться пешеход, чтобы его встреча с велосипедистом произошла не позже чем через 2 ч после начала движения? Решение: Пусть скорость движения пешехода x км/ч, скорость движения велосипедиста — 12 км/ч, тогда скорость их сближения будет (x + 12) км/ч, значит, встретятся они через ч. По условию они должны встретиться не позднее чем через 2 ч после начала движения, т. е. время должно быть не больше 2 ч. Получим неравенство: Все числа по условию положительны, поэтому умножение обеих частей неравенства на x + 12 приведет к равносильному неравенству: 30 2(x + 12) или 2(x + 12) > 30; x + 12 > 15; x > 3. Ответ: скорость пешехода должна быть не меньше 3 км/ч. Пример 3. При каких значениях x значение дроби больше дроби Решение: Очевидно, что ответ на вопрос сводится к решению неравенства вида: 3 – 2x 3 – 2x 3 – 2x 3 – 2x Ответ: при x > 4 Пример 4. Найти область определения функции: а) у = 2(3x –1) – 7x + 2; б) у = 2 . Решение: а) Функция вида у – у/f (x) определена на множестве, где f(x) > 0, это множество и называют областью определения данной функции. Таким образом, необходимо решить неравенство: б) Функция у – 1 определена на множестве f(x) > 0. Решим неравенство: Ответ: а) функция определена для всех x е (–да; 0]; б) функция определена lля всех x Пример 5. Решить неравенство: а) Решение: а) Дробь положительна, если ее числитель и знаменатель одного знака, поскольку 3 > 0, то 2x – 1 > 0; x > 1. б) Дробь неположительна, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки, –4 0, тогда 3x – 7 > 0; 3x > 7; x > ; x > 2 . Пример 6. Найти все значения а, при которых квадратное уравнение (2a – 1)x2 + 2x – 1 = 0 имеет два действительных и различных корня. Решение: Квадратное уравнение имеет два действительных различных корня, если первый коэффициент не равен нулю и дискриминант этого уравнения положителен. Ответ: уравнение имеет два различных действительных корня при 0 а Линейное неравенство с параметром Рассмотрим схему решения неравенства вида ax > b при различных значениях а и b. x > x решений нет x ––– любое число Пример 7. Решить неравенство: а) (а – 3)x 8; б) 5x – а > ax – 3. Решение: а) Рассмотрим случаи: Ответ: 1) а) x — любое число при а – 3; б) x при а > 3; в) x > при Пример 8. В зависимости от параметра b решить неравенство: (b2 + 2b – 3)x b2 – 1. Решение: Разложим на множители коэффициент при x и правую часть неравенства: Ответ: а) x — любое число при b – 1; б) решений нет при b – –3; в) x 3.2.4. Системы линейных неравенств. Совокупности неравенств Если необходимо найти общее решение двух или более линейных неравенств с одной переменной, говорят, что нужно решить систему двух и более неравенств. Решением системы неравенств с одной переменной называется число, при подстановке которого вместо переменной в каждое из неравенств системы они становятся верными числовыми неравенствами. Решить систему неравенств — значит найти все ее решения или доказать, что их нет. Пример 1. Решить систему неравенств: Решение: Разделим первое неравенство на –2 (знак неравенства изменится на противоположный Решением этой системы являются числа, которые одновременно больше, чем –2, и не превышают 4 (рис. 3.15). Множество чисел x, удовлетворяющих этому условию, можно записать в виде двойного неравенства –2 x 4, изобразить на числовой прямой. Такое множество называется полуинтервал и записывается (–2; 4], где число –2 не принадлежит этому множеству, а число 4 принадлежит. Аналогично вводится понятие интервал, т. е. множество чисел x, удовлетворяющих условию а x b, записывается (а; b), где числа а и b не являются решениями соответствующей системы неравенств (рис. 3.16). a b Если числа а и b являются решениями соответствующей системы неравенств, то множество таких чисел x записывают а x b или [а; b]. Это множество чисел называется числовым отрезком (рис. 3.17). Отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи называются числовыми промежутками. Числовые промежутки могут объединяться и пересекаться. Пример 2. Найти объединение и пересечение промежутков [а; b] и [с; d], если на числовой прямой они изображаются следующим образом (рис. 3.18). Решение: Очевидно, что пересечением числовых отрезков будет отрезок [с; b], т. е. это множество чисел x, которые одновременно входят в [а; b] и [с; d]. Записывают: [с; b] = [а; b] п [с; d]. Объединением этих отрезков будет множество чисел x, которые входят хотя бы в одно из множеств [а; b] или [с; d]. Очевидно, что это будет отрезок [а; d] = = [а; b] и [с; d]. Аналогично можно пересекать и объединять другие числовые промежутки. Если числовые промежутки не имеют общих элементов, их пересечением является пустое множество 0 (рис. 3.19), например: [а; b) п (с; d) = 0. Рассмотрим примеры решения систем линейных неравенств. Пример 3. Решить систему неравенств: Решение: а) Раскроем скобки в каждом неравенстве, перенесем слагаемые с переменной в левую часть неравенства, числа — в правую, приведем подобные слагаемые: Второе неравенство системы верно для всех значений x, поэтому общим решением будет x > 1 (рис. 3.20). 1 б) Домножим первое неравенство почленно на 8, а второе — на 12 (общий знаменатель дробей). Получим пересечение лучей (рис. 3.21): x –0,5 и x > –26,5, x e (–26,5; –0,5). Пример 4. Найти все целые числа, являющиеся решениями системы неравенств: Решение: Число нуль не является решением системы. Целыми числами, которые находятся на пересечении этих лучей, будут только 1 и 2 (рис. 3.22). Ответ: 1; 2. Пример 5. Найти наименьшее целое x, удовлетворяющее системе неравенств: Решение: Общим решением будет луч | —; + * |, а наименьшим целым числом на этом множестве будет число 1 (рис. 3.23). Ответ: 1. Пример 6. Найти область определения функции: y = ((x + 7 – 3) Решение: Областью определения данной функции будет множество x, удовлетворяющих системе неравенств: Общее решение — на полуинтервале [–7; 3) (рис. 3.24). Ответ: [–7; 3). Пример 7. Решить систему неравенств: Решение: Домножим первое уравнение системы на 4, а второе — на 12. Получим: {12x + 4x – 2 > 8x – 1, {12x + 4x – 8x > –1 + 2, Множество решений полученной системы пусто (рис. 3.25). Ответ: решений нет. Рассмотрим простейшие системы линейных неравенств с параметром. Пример 8. При каких значениях а система не имеет решений? Решение: Чтобы система не имела решений, необходимо, чтобы число а – 1 находилось не правее числа 1 на числовой прямой, т. е. а – 1 1, а 2 (рис. 3.26). Ответ: при а 2 система не имеет решений. Пример 9. При каких значениях параметра а уравнение x2 – 6ax + 9а2 – 16 = 0 имеет два отрицательных корня? Решение: Чтобы квадратное уравнение имело два корня, необходимо, чтобы его дискриминант был положителен, т. е. Данное уравнение всегда имеет два корня. Уравнение — квадратное приведенное. По теореме Виета имеем: если x2 + px + q – 0, то x1 + x2 = –p, x1 ■ x2 – q, т. е. x1 + x2 = 6а, x1 • x2 = 9а2 – 16; если x1 0 и x2 0, то x1 + x2 0 и x1 • x2 > 0. Система распадается на две: система несовместна Ответ: при b – уравнение имеет два отрицательных корня. 3 Неравенства с модулем. Системы и совокупности систем неравенств Решение неравенств с модулем сводится к решению системы или совокупности неравенств. Несколько неравенств с одной переменной образуют системы неравенств, если ставится задача об отыскании таких значений переменной, которые удовлетворяют одновременно каждому из этих неравенств. Решением системы является пересечение решений неравенств. Например, [–3; 5) система решений не имеет Несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств в том случае, если ставится задача об отыскании всех значений переменных, каждое из которых удовлетворяет по крайней мере одному из этих неравенств. Решением совокупности неравенств является объединение решений неравенств. Например, Решение простейших неравенств с модулем а) если а 0, решений нет; а) если а 0, x ––– любое число; б) если а – 0, f(x) – 0; б) если а – 0, f(x) = 0; в) если а > 0, то неравенство равно¬ в) если а > 0, неравенство равносильно системе неравенств: но совокупности неравенств: или двойному неравенству вида а) если a 0, решений нет; б) если a > 0, то неравенство равносильно системе неравенств: или двойному неравенству –a f(x) a Пример 10. Решить неравенство: а) |2x – 5| 3; а) Данное неравенство равносильно двойному неравенству: б) Неравенство равносильно двойному неравенству: в) Неравенство равносильно совокупности неравенств: г) Данное неравенство равносильно совокупности неравенств: Второе неравенство совокупности не имеет решения, поэтому рассмотрим решение первого неравенства: д) Данное неравенство равносильно системе неравенств: е) Данное неравенство равносильно совокупности неравенств: Ответ: а) (1; 4); б) Пример 11. Для каждого значения a решить неравенство: а) |x – 3| a; б) |3 – 2x| > a. Решение: а) Если a 0, решений нет; если a > 0, получим двойное неравенство –a x – 3 a или 3 – a x a + 3. б) При a 0 x — любое число. Если a > 0, получим совокупность неравенств: Ответ: а) решений нет при a 0, 3 – a x a + 3 при a > 0; 3.2.5. Квадратные неравенства. Метод интервалов Если левая часть неравенства — выражение вида ax2 + bx + c, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа (a 0), а правая часть неравенства представлена нулем, то такое неравенство называется квадратным. Например, 5×2 0; 3×2 + 2x – 1 > 0; x2 – x > 0. Существует три метода решения квадратных неравенств: 1) метод сведения к решению систем линейных неравенств; 2) графический метод (с помощью графика квадратичной функции); 3) метод интервалов. Метод сведения к решению систем линейных неравенств Метод сводится к разложению квадратного трехчлена на множители ax2 + bx + + c – a(x – x1)(x – x2), где x1 и x2 — корни квадратного трехчлена. Далее рассматривается совокупность соответствующих систем линейных неравенств. Пример 1. Решить квадратное неравенство: а) x2 – 3x + 2 0; б) –4×2 + 3x + 1 0. Решение: а) Разложим на множители квадратный трехчлен. Корни x1 = 1, x2 = 2. Поэтому (x – 1)(x – 2) = 0. Произведение двух множителей неположительно, значит, множители имеют разные знаки: Вторая система: эта система решений не имеет б) Умножим обе части неравенства на (–1), получим: 4×2 – 3x – 1 > 0. Найдем корни трехчлена: Неравенство примет вид: 4(x – 1) ^x + 1 j > 0. Произведение множителей положительно, значит, множители одного знака: Решениями данного неравенства являются числа x > 1, а также числа x – . Ответ: а) [1; 2]; б) I–да; – 4 lu (1; + да). Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции (графический метод) Алгоритм решения квадратного неравенства графическим методом: 1. Находим нули функции соответствующей квадратичной функции или доказываем, что их нет. 2. Определяем направление ветвей параболы (если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, если a 0, то вниз). 3. Рисуем эскиз графика квадратичной функции. 4. По графику определяем решение неравенства. Пример 2. Решить квадратное неравенство: а) x2 – 3x – 4 > 0; г) x2 + 5x + 12 > 0; б) –2×2 + x + 1 > 0; д) –x2 – 1 0. в) x2 – 14x + 49 0; Решение: а) Корни квадратного трехчлена x1 = –1, x2 = 4. Ветви параболы направлены вверх (a = 1 > 0). Рисуем эскиз графика функции y – x2 – 3x – 4 (рис. 3.27). Определяем решения. По графику видно, что неотрицательные значения функция принимает при x –1 и x > 4, т. е. x е (–да; –1] и [4; +да>). По этому же эскизу также можно решить неравенства, отличающиеся от исходного только знаком: x2 – 3x – 4 > 0, x e (–да; –1) u (4; +да); x2 – 3x – 4 0, x e [–1; 4]; x2 – 3x – 4 0, x e (–1; 4). б) Ветви параболы направлены вниз, поскольку –2 0. Парабола пересекает ось Ox в точках: x1 = 1, x2 = –1 (рис. 3.28). Определим, где функция принимает неотрицательные значения. Очевидно, это будет при По этому же эскизу можно решить неравенства: в) Ветви параболы направлены вверх. Соответствующий квадратный трехчлен имеет один корень x – 7. По эскизу (рис. 3.29) видно, что данное неравенство имеет решение только в точке x – 7. Определим по этому эскизу решения для неравенств: x2 – 14x + 49 0, решений нет; x2 – 14x + 49 > 0, решениями являются все действительные числа; x2 – 14x + 49 > 0, x — любое число, кроме 7, т. е. x е (–да; 7) и (7; +да). г) Построим эскиз графика (рис. 3.30), ветви параболы направлены вверх, в уравнении x2 + 5x + + 12 = 0 действительных корней нет, поэтому парабола не пересекает ось Ox. Из рисунка видно, что решениями неравенства x2 + 5x + 12 > 0 (а также x2 + 5x + 12 > 0) являются все действительные числа. Для неравенств x2 + 5x + 12 0 (или x2 + 5x + 12 0) решений нет. д) Ветви параболы направлены вниз (рис. 3.31), уравнение –(x2 + 1) = 0 действительных корней не имеет. Тогда для неравенства –x2 – 1 0 (и –x2 – 1 0) решениями являются все действительные числа; –x2 – 1 > 0 (и –x2 – 1 > 0) — решений нет. Пример 3. При каких значениях параметра а неравенство (a2 – 1)x2 + 2(a – 1)x + + 1 > 0 выполняется для любого x? Рис. 3.31 Решение: Для того чтобы квадратный трехчлен y – ax2 + bx + c (а Ф 0) был положителен при всех x, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: d > 0 и D 0, где d — коэффициент при x2. Имеем: d – а2 – 1 > 0. Дискриминант = (а – 1)2 – (а2 – 1) = а2 – 2а + 1 – а2 + 1 = 2 – 2а. Получим систему неравенств: Эти неравенства одновременно выполняются при а > 1. Отметим, что при а – 1 заданный трехчлен тождественно равен 1, 1 > 0. Ответ: для а > 1 неравенство выполняется для всех x. Пример 4. Решить систему неравенств: Решение: а) Решим первое неравенство системы: построим параболу с ветвями, направленными вверх. Найдем корни квадратного уравнения x2 – 9 = 0, x1 = –3 и x2 = 3. Решение первого неравенства: x –3 и x 3 (рис. 3.32). Решение второго неравенства: x 5 (рис. 3.33). Нанесем эти решения на одну числовую прямую (рис. 3.34) и запишем общие решения: x е (–да; –3] и [3; 5). б) Решением первого неравенства является множество x: x2 + 4x – 5 = 0; x1 = 1, x2 = –5 (рис. 3.35). Для второго неравенства: x2 – 2x – 8 = 0; x1 = –2, x2 = 4 (рис. 3.36). Нанесем на одну числовую прямую общее решение (рис. 3.37): x е [–2; 1). Пример 5. Найти область определения функции: Решение: Очевидно, что нахождение области определения данной функции сводится к выполнению условий x2 – 1 > 0 и 4 – x2 > 0, т. е. решению системы: Метод интервалов Этот метод применяется для решения квадратных неравенств, неравенств высших степеней, дробно–рациональных неравенств, уравнений и неравенств с модулем и т. д. Действия согласно Пример методу интервалов f(x) > 0 x2 + 7x + 10 > 0 1. Найти корни уравнения f(x) = 0: Найдем корни уравнения 2. Нанести эти корни на числовую прямую, разбивая ее на интервалы: Наносим корни на числовую прямую, получим три интервала: 3. Если коэффициент при старшей степени f(x) положителен, то на крайнем правом интервале функция –5 2 сохраняет знак «+»; остальные знаки Коэффициент при x2 равен 1 > 0, по расставлены в порядке чередования этому на интервале x > 2 функция сохраняет знак «+», остальные знаки ставим в порядке чередования 4. В ответ записать интервалы, соответствующие знаку неравенства пишем интервалы, где сохраняется знак «+». Ответ: (–да; –5) и (2; +да>). Пример 6. Решить неравенства методом интервалов: Решение: а) Отметим на числовой прямой точки, обращающие числитель и знаменатель в нули: –5, –4, 1, 2 (рис. 3.41). Кружки в точках 1 и 2 закрасим, а –5 и –4 оставим пустыми, т. к. дробь равна нулю при условии, что числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. Поэтому точки –5 и –4 исключены из решения неравенства. На интервале x > 2 дробь положительна, далее знаки чередуются. Получим решение: б) Запишем неравенство в виде: (x + 3)2(x – 2)(x –– 3) > 0. Так как (x + 3)2 > 0 при всех x Ф –3, то при переходе через точку –3 знак функции не изменится (рис. 3.42) Заметим, что для неравенства вида (x – 9)2(x + 3)(x – 2) > 0 ответ будет выглядеть так (рис. 3.43): x е (–да; 2] и [3; +да>), поскольку числа –3, 2 и 3 входят в решение неравенства. Для неравенства (x2 – 9)(x + 3)(x – 2) 0 ответ: (2; 3); для неравенства (x2 – 9)(x + 3)(x – 2) 0 ответ: {–3} u [2; 3], т. к. числа –3, 2 и 3 необходимо включить в решение. в) Разложим на множители числитель и знаменатель дроби: (x – 3)(x2 + 3x + 9) 0 (x + 2)(x2 – 2x + 4) Дискриминанты уравнений x2 + 3x + 9 = 0 и x2 – 2x + 4 = 0 отрицательны, следовательно, уравнения решений не имеют. Отсутствие решений означает, что квадратные трехчлены на множители не раскладываются, и на всем промежутке изменения x имеют постоянный знак, совпадающий со знаком старшего члена (в данном случае «+»). Умножим и разделим исходное неравенство на положительные выражения (x2 – 2x + 4) и (x2 + 3x + 9) соответственно. Получим равносильное неравенство: Разобьем числовую прямую на промежутки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль, учитывая, что x – –2 не является решением неравенства. Ответ: а) x е (–да; –5) и (–4; 1] и [2; +да>); б) (–да; –3) и (–3; 2) и (3; +да>); в) x е (–2; 3]. Методом интервалов можно решать уравнения и неравенства с модулем. Пример 7. Решить уравнение с модулем: |x – 3| + 2|x + 1| = 4. Решение: 1) Находим критические точки, т. е. значения x, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль: 2) Критические точки разбивают числовую ось на интервалы, на каждом из которых выражение под модулем сохраняет знак: 3) Раскрываем все модули на каждом интервале, решаем полученное уравнение, проверяем, принадлежит ли полученный корень рассматриваемому интервалу: а) x –1. Получим уравнение: Корень принадлежит рассматриваемому интервалу. б) –1 x 3. Уравнение –(x – 3) + 2(x + 1) = 4; –x + 3 + 2x + 2 = 4; x – –1. Этот корень не принадлежит рассматриваемому интервалу. в) x > 3. этот корень не принадлежит интервалу x > 3. Ответ: –1. Аналогично решаются неравенства с модулем. Пример 8. Решить неравенство: |x – 1| + |x + 1| 4. Решение: Критические точки x1 = 1 и x2 = –1 разбивают числовую ось на три интервала: де — 1 0 л: — 1 0 ж – 1 > О Рассмотрим решение неравенства на каждом интервале. Числовое неравенство 2 4 верно для всех x, решением является весь промежуток –1 x 1. Объединяем полученные множества решений, получим –2 x 2. Ответ: x е (–2; 2). Пример 9. Решить неравенство: |x – a\ 2x – 1, где a — параметр. Решение: Критическая точка x – а. Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств: Рассмотрим каждую систему в отдельности: x > a, Если a ,’ то расположение точек a; 1 – a и на числовой оси следующее: Тогда решение системы — множество x > 1 – a. Если a > ^, получаем: Тогда решение системы — множество x > a; x a, Объединим решения двух систем неравенств. Ответ.