3.1. Уравнения (справочник ОГЭ)

3.1.1. Уравнения с одной переменной, корень уравнения Уравнение с одной переменной — это равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Неизвестное число в уравнении называется переменной. Например, уравнение 3х – 4 = 5х + 1 содержит переменную х; уравнение 3(у + 1) = У содержит переменную у. 4 Выражение, записанное в уравнении слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, записанное справа, — правой частью. Так, в уравнении 3х – 4 = 5х + 1 левая часть: 3х – 4; правая часть: 5х + 1. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, число –2,5 является корнем уравнения 3х – 4 = 5х + 1, поскольку 3 • (–2,5) – 4 = 5 • (–2,5) + 1; –11,5 = –11,5. Число 1 не является корнем этого уравнения, поскольку 3 • 1 – 4 Ф 5 • 1 + 1; –1 ф 6. Пример 1. Какое из чисел 3, –2, 4 является корнем уравнения 5х – 8 = 2х + 4? Решение: По определению корня при его подстановке в уравнение последнее должно обратиться в верное равенство. Пусть х – 3, тогда 5 • 3 – 8 должно быть равно 2 • 3 + 4, но 7 Ф 10. 3 не является корнем уравнения. Пусть х — –2, тогда 5 • (–2) – 8 должно быть равно 2 • (–2) + 4, но –18 Ф 0. –2 не является корнем уравнения. Пусть х — 4, тогда 5 • 4 – 8 = 2 • 4 + 4, 12 = 12. 4 — корень уравнения. Ответ: 4. Уравнение может иметь различное количество корней. Например: а) уравнение 5х = 20 имеет один корень, х – 4; б) уравнение х(х + 3)(х – 7) = 0 имеет три корня: х – 0; х – –3 и х – 7; в) уравнение х + 1 = х не имеет корней, поскольку при любых х левая часть на единицу больше правой; г) уравнение 5(х – 3) = 5х – 15 имеет бесчисленное множество корней, поскольку обращается в верное равенство при любых х. Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Равносильные уравнения Если уравнения имеют одни и те же корни, эти уравнения называются равносильными. Уравнение 1) = 0 и х2 = х равносильны, поскольку имеют корни: х – 0 и х – 1. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными. Например, уравнения х + 1 = х и 3 – х – 1 – х равносильны. Процесс решения уравнения заключается в замене данного уравнения другим, равносильным ему. Основные свойства уравнений: 1. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный. 2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Пример 2. Решить уравнение: 5(х – 3) – 2(х – 7) + 7(2х + 6) = 7. Решение: Раскроем скобки в левой части уравнения: 5х – 15 – 2х + 14 + 14х + 42 = 7. Приведем подобные слагаемые: 17х + 41 = 7. Перенесем второе слагаемое в правую часть уравнения, изменив при этом его знак на противоположный: 17х = 7 – 41; 17х = –34. Разделим обе части уравнения на 17: х – –2. Ответ: –2.

3.1.2. Линейное уравнение Уравнение вида ax – b, где х — переменная, a и b — некоторые числа, называется линейным уравнением. Например, 1) a , тогда x – — один корень; 2) a – 0, b Ф 0, тогда 0 • х – b, уравнение не имеет корней; 3) a – 0 и b – 0, тогда 0 • х – 0, уравнение имеет бесчисленное множество корней, т. е. любое число будет корнем этого уравнения. Рассмотрим уравнения, сводящиеся к линейным. Пример 1. Решить уравнение: а) –2х + 1 – 3(х – 4) = 4(3 – х) + 4; 3х — 7 9х + 11 3 — х г) 8(1,3х + 0,25) – 6,6х = 3,8х + 2. Решение: а) Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения. Приведем подобные слагаемые: –2х + 1 – 3х + 12 = 12 – 4х + 4; –5х + 13 = –4х + 16. Перенесем слагаемые с переменной в левую часть уравнения, числа — в правую, меняя при этом знак переносимого слагаемого на противоположный: –5х + 4х = 16 – 13; –х = 3; х – –3. б) Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т. е. на 8, получим: 3х — 7 9х + 11 3 — х • 8 — • 8 — • 8; 2(3х – 7) – (9х + 11) = 4(3 – х); 6х – 14 – 9х – 11 = 12 – 4х; –3х – 25 = 12 – 4х; 4х – 3х = 12 + 25; х — 37. в) Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т. е. на 15, после сокращения получим: 5(2х + 1) – (7х + 5) = 3(х – 2); 10х + 5 – 7х – 5 = 3х – 6; 3х = 3х – 6; 3х – 3х = –6; 0 • х – –6. Уравнение не имеет корней, поскольку не существует значения х, при котором 0 = –6. г) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 10,4х + 2 – 6,6х = 3,8х + 2; 10,4х – 6,6х – 3,8х = 2 – 2; 0 • х – 0. Уравнение имеет бесчисленное множество корней, поскольку при любом значении х верно равенство 0 = 0. Ответ: а) 3; б) 37; в) корней нет; г) уравнение имеет бесчисленное множество корней. Уравнение вида |Дх)| = a, где f(х) — многочлен первой степени, a — любое число, может иметь несколько решений: 1) a > 0 2) a – 0 3) a 0 f(x) = a или Дх) = –a f(х) = 0 корней нет, поскольку 1Дх)| > 0 Пример 2. Решить уравнение а) |х| = 2,5; в) |5х – 1| = 4; г) |2х – 1| = х. Решение: х1 – 2,5; х2 = –2,5; корней нет; 5х – 1 = 4 5х = 5 х1 = 1 Очевидно, 2х + 1 = х х1 – –1 или 5х – 1 = –4 5х = –3 х2 = –0,6 что уравнение имеет решение при условии, что х > 0. Тогда: или 2х + 1 = –х 3х2 х2 » = –1 — 1 » 3 Оба корня являются посторонними, поскольку не удовлетворяют условию х > 0. Ответ: а) 2,5; –2,5; б) корней нет; в) 1; –0,6; г) корней нет. Линейное уравнение с одной переменной, содержащее параметр Величина, входящая в уравнение или неравенство и сохраняющая свою величину, называется параметром. Итак, линейное уравнение может иметь: Пример 3. Решить уравнение с параметром: а) ax – 0; в) х + 5 = ax; х – ax – 5; х(1 – a) = 5; б) тх – т; г) (a2 – 5a + 6)х = a2 + 2a – 8. Решение: а) Если a – 0, то 0 • х – 0, х — любое число. Если a Ф 0, то x – 0 = 0, один корень. a Если m – 0, то 0 • x – 0, x — любое число. m Если m Ф 0, то x – ; x – 1, один корень. Если а — 1, то 0 • x — 5, корней нет. Если а Ф 1, то x = г) Разложим на множители выражение а2 – 5а + 6 и а2 + 2а – 8. а2 – 5а + 6 = (а – 3)(а – 2); а2 + 2а – 8 = (а + 4)(а – 2). Тогда (а – 3)(а – 2)x = (а + 4)(а – 2). Если а — 3, то 0 • x — 7, корней нет. Если а — 2, то 0 • x — 0, x — любое число. Если а Ф 2 и а Ф 3, то x = (а + 4)(а – 2); (а – 3)(а – 2) ; a+4 x = ; один корень. а – 3 3.1.3. Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения Уравнение вида ax2 + bx + c – 0, где x — переменная, а, b, c — некоторые числа, причем а Ф 0, называется квадратным уравнением. Числа а, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. а — первый коэффициент; b — второй коэффициент; c — свободный член. Например, 3×2 + 5x – 4 = 0 — квадратное уравнение, в котором первый коэффициент а – 3, второй коэффициент b – 5, свободный член c – –4. Если первый коэффициент а – 1, уравнение называется приведенным. Например, x2 – 7x + 9 = 0 — приведенное квадратное уравнение. Если в квадратном уравнении b – 0 и (или) c – 0, то уравнение называется неполным. Решение неполных квадратных уравнений Виды уравнений Примеры Решение полных квадратных уравнений Решение уравнений методом выделения полного квадрата Пример 1. Решить уравнение методом выделения полного квадрата: х2 – 6х + 5 = 0; x2 – 6х + 9 – 4 = 0; (х – 3)2 = 4 х – 3 = 2 или х – 3 = –2 хг — 5 х2 = 1. Решение квадратного уравнения по формуле Корни квадратного уравнения ах2 + Ьх + c – 0 можно найти по формулам: Квадратное Дискриминант Корни уравнения Если записать вычисление дискриминанта и нахождение корней в одну формулу, получим: Пример 1. Решить квадратное уравнение: а) 2х2 + 3х + 1 = 0; а – 2, Ь – 3, c – 1; б) 5х2 – 4х + 10 = 0; а – 5, Ь – –4, c – 10; в) х2 – 10х + 25 = 0; а – 1, Ь – –10, c – 25. Решение: Ответ: а) –2; б) корней нет; в) 5. Если второй коэффициент квадратного уравнения ax2 + 2kx + c – 0 четный (Ь = 2k), можно применить формулы: Если первый коэффициент квадратного уравнения равен 1 (а – 1), а второй коэффициент четный (Ь = 2k), то можно применить формулу: Пример 2. Решить уравнение: а) 7х2 – 6х – 1 = 0; б) х2 – 16х – 161 = 0. Решение: а) Применим формулу (2): Исследование квадратного уравнения по дискриминанту и коэффициентам Пример 3. При каком значении а уравнение ах2 + (а + 1)х + 1 = 0 имеет один корень? Решение: Уравнение имеет один корень, если дискриминант равен нулю, т. е. Ответ: 1. Пример 4. Решить уравнение в зависимости от параметра Ь: х2 + 2х – Ь2 + 2Ь = 0. Решение: Найдем дискриминант этого уравнения: D = 22 – 4(–Ь2 + 2Ь) • 1 = 4 + 4Ь2 – 8Ь = 4Ь2 – 8Ь + 4 = 4(Ь2 – 2Ь + 1) = 4(Ь – 1)2. Данное уравнение имеет один корень или два различных корня, поскольку D = 4(Ь – 1)2 > 0. Если Ь – 1, D – 0, один корень х — — –1. 3.1.4. Решение рациональных уравнений. Решение иррациональных уравнений Уравнение называется рациональным, если его левая и правая части представлены рациональными выражениями. Целым называется рациональное уравнение, левая и правая части которого представлены целыми выражениями. Дробным называется рациональное уравнение, у которого хотя бы одна часть — дробное выражение. Алгоритм решения дробно–рациональных уравнений: 1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. 2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. 3. Решить полученное целое уравнение. 4. Исключить из корней уравнения те, которые обращают в нуль общий знаменатель. Пример 1. Решить уравнение: а) ^ _ 0; б) _ 0; в) x + 4 2 Решение: а) Используем условие равенства дроби нулю: числитель этой дроби должен быть равен нулю, а знаменатель не равен нулю: б) Аналогично примеру а: x1 – 2′; x2 _ – 2, но второй корень посторонний, поскольку при x _ – 2 знаменатель обращается в нуль. в) Разложим на множители знаменатели и найдем общий знаменатель дробей, входящих в уравнение: x + 4\2x–1 10\(2x+1)2 15\(2x–1)(2x+1) (2x + 1)2 2x –1 2x +1 Общий знаменатель (2x + 1)2(2x – 1) обращается в нуль, если x _ – или x – 2. Значит, эти числа не могут быть корнями уравнения. 2 (x + 4)(2x – 1) + 10(2x + 1)2 = 15(2x – 1)(2x + 1); 2×2 – x + 8x – 4 + 40×2 + 40x + 10 = 60×2 – 15; –18×2 + 47x + 21 = 0; Среди полученных корней нет чисел 1 или – 2. 17 Ответ: а) 0 и 1; б) ; в) – ; 3. Пример 2. Решить уравнение x2(a + 1)x + a Найдем дискриминант: если a – 1, то один корень x _ _ 1. Получим, что x1 = a, но при x – 2 уравнение решений не имеет, т. е. при a – 2 решений нет. Ответ: 1) если a – 2, корней нет; 2) если a – 1, один корень — 1; 3) если a Ф 2 и a Ф 1, то уравнение имеет два корня: 1 и a. Решение иррациональных уравнений Если в уравнении неизвестная величина содержится под знаком радикала, то такие уравнения называются иррациональными. Одним из способов решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в квадрат или степень, равную показателю корня. Решение уравнений вида (а — число) _ a a > 0 a 0 II решений нет Пример 3. Решить уравнение: Пример 4. Решить уравнение Решение более сложных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в квадрат Пример 5. Решить уравнение: (x – 5)(x + 2)Vx – 7 _ 0. Решение: Исходное уравнение можно заменить совокупностью уравнений: x – 5 = 0; x + 2 = 0; yjx – 7 _ 0 при условии, что x – 7 > 0; x > 7. x1 = 5; x2 = –2; x3 = 7, условию x > 7 удовлетворяет только корень x – 7. Ответ: 7. Если при решении уравнений делается проверка, то можно решать уравнения, не находя область допустимых значений или с помощью равносильных переходов, как в примере 4. Пример 6. Решить уравнение: yjx + 2 – Vx – 6 _ 2. Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат: Проверка показала, что x – 7 — корень уравнения. Ответ: 7. Метод введения новых переменных Пример 7. Решить уравнение: а) 2^x + 1 – 6x + 1 _ 6; б) (x + 4)(x + 1) – Wx2 + 5x + 2 _ 6. Решение: а) Сделаем замену переменной 6x + 1 _ t. Тогда 2t2 – t – 6; 2t2 – t – 6 = 0; t1 = 2; t2 _ –2. Вернемся к первоначальной переменной: 6x + 1 _ 2; x + 1 = 26; x – 31; 6x + 1 _ – корней нет, т. к. Vx + 1 > 0. б) Раскроем скобки: x2 + 5x + 4 – 3\jx2 + 5x + 2 _ 6 или x2 + 5x + 2 – 3>/x2 + 5x + 2 – 4 _ 0. Обозначим \Jx2 + 5x + 2 _ t, получим уравнение t2 – 3t – 4 = 0. Уравнение имеет корни t1 = –1, t2 = 4. Уравнение \Jx2 + 5x + 2 _ –1 не имеет решений, т. к. Vx2 + 5x + 2 > 0. 3.1.5. Примеры решения уравнений высших степеней. Решение уравнений методом замены переменной. Решение уравнений методом разложения на множители Существует несколько методов решения целых уравнений высших степеней (степени больше 2). Метод разложения многочлена на множители Этот метод применяется в случаях, когда левая часть — многочлен, который возможно разложить на множители, а правая часть уравнения равна нулю. Пример 1. Решить уравнение: а) x3 + 4×2 – 2x – 8 = 0; б) x3 + x – 2 = 0. а) Разложим на множители способом группировки многочлен, стоящий в левой части уравнения: (x3 + 4×2) – (2x + 8) = 0; x2(x + 4) – 2(x + 4) = 0; (x + 4)(x2 – 2) = 0; (x + 4) (x – –J2) )x + –\/2) _ 0; x1 = –4; x2 = –\/2; x3 _ –V2. б) x3 – 1 + x – 1 = 0; (x – 1)(x2 + x + 1) + 1(x – 1) = 0; (x – 1)(x2 + x + 1 + 1) = 0; (x – 1)(x2 + x + 2) = 0; x – 1 = 0; x1 = 1 или x2 + x + 2 = 0, уравнение не имеет корней. Ответ: 1. Метод замены переменной Метод замены переменной — один из самых распространенных и универсальных. Уравнения вида ax4 + bx2 + c – 0 называются биквадратными (а Ф 0) и решаются путем замены x2 = t. Пример 2. Решить уравнение: 4×4 – 17×2 + 4 = 0. Решение: Сделаем замену: x2 = t, тогда получим уравнение 4t2 – 17t + 4 = 0. Вернемся к переменной x: Ответ: –2; Иногда в уравнении выгодно заменить другой переменной не одночлен, а многочлен или дробное выражение. Пример 3. Решить уравнение: а) (2×2 + x + 1)(2×2 + x + 3) = 8; б) Решение: а) Сделаем замену t – 2×2 + x + 1, тогда получим уравнение: Вернемся к переменной x: 2×2 + x + 5 = 0; это уравнение корней не имеет. б) Сделаем замену _ t, получим уравнение: Ответ: а) –1; ; б) –3; –2. Метод почленного деления уравнения на х2 с последующей заменой переменной Уравнения вида ax4 + bx3 + cx2 + bx + c – 0 и ax4 + bx3 + cx2 + dx + m – 0, где называют возвратными и решают методом почленного деления уравнения на x2 и последующей заменой переменной. Пример 4. Решить уравнение: 3×4 – 2×3 + 4×2 – 4x + 12 = 0. Решение: Разделим уравнение почленно на x2 (x = 0 не является корнем уравнения, и деление не приведет к потере корня): Сделаем замену x + _ t, тогда | x + I _ t , поэтому x2 + 4 + 2 _ t , значит, Вернемся к первоначальной переменной: x + _ 2; x2 – 2x + 2 = 0; это уравнение корней не имеет; x + _ – ; 3×2 + 4x + 6 = 0; это уравнение корней не имеет. Ответ: корней нет. Рассмотрим еще несколько нестандартных приемов для решения уравнений. Пример 5. Решить уравнение: а) x(x – 1)(x – 2)(x – 3) = 15; б) x2 + Решение: Сгруппируем множители x и (x – 3); (x – 1) и (x – 2), перемножим x(x – 3) х х (x – 1)(x – 2) = 15; (x2 – 3x)(x2 – 3x + 2) = 15. Замена: x2 – 3x = t, тогда t(t + 2) = 15; t2 + 2t – 15 = 0; t1 = 3; t2 = –5. – 3x = –5; x2 – 3x + 5 = 0; корней нет. Левая часть уравнения — сумма квадратов, поэтому прибавим к обеим частям уравнения удвоенное произведение этих выражений: 3.1.6. Уравнение с двумя переменными. Решение уравнений с двумя переменными Уравнение с двумя переменными x и y имеет вид: f(x; y) – ty(x; y), где f и ф — выражение с переменными x и у. Например, x2 + у2 – xy; 2x + 1 = 3у + x; xy – 6 — уравнения с двумя переменными. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, при которых уравнение превращается в верное равенство. Например, пара чисел x – 2, y – 3 является решением уравнения xy – 6. Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Например, уравнение (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4 и уравнение x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0 являются равносильными. Уравнения, не имеющие решений, также называют равносильными. Уравнения с двумя переменными имеют такие же свойства, что и уравнения с одной переменной: • если в уравнении перенести слагаемые из одной части в другую, изменив при этом его знак на противоположный, получим уравнение, равносильное данному; • если в уравнении обе части умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получим уравнение, равносильное данному. Пример 1. Рассмотрим уравнение: 5x + 2y – 4 = 3(x + y – 1). Раскроем скобки, перенесем слагаемые с переменными в левую часть, изменив при этом их знаки, а числа — в правую часть: 5x + 2у – 4 = 3x + 3y – 3; 5x – 3x + 2y – 3y – 4 – 3; 2x + y – 1. Получили уравнение, равносильное исходному. Уравнение с двумя переменными имеет бесчисленное множество решений. Пример 2. Решениями уравнения x + у – 7 являются пары чисел (3; 4); (4; 3); (–1; в); (0; 7) и т. д. Чтобы найти пары таких решений, нужно записать уравнение в виде у – 7 – x, задать значение x и получить соответствующие значения у, т. е. если x – 5, то у – 7 – x – 7 – 5 = 2; если x – –10, то у – 7 – (–10) = 17 и т. д. Пример 3. Найти несколько решений уравнения xy – 2 = 2x – у. Решение: Очевидно, что способом, указанным в примере 2, это будет сделать сложно. Задаем произвольные значения x и получаем при этом уравнение относительно у. Если x – 0, то xy – 2 = 2x – у имеет вид –2 = –у, у – 2. Получили пару (0; 2). Если x – 1, то xy – 2 = 2x – у имеет вид у – 2 = 2 – у; 2у = 4; у – 2. Получили пару (1; 2). Можно задавать значения у, получая при этом значения x. Если у – 0, то xy – 2 = 2x – у имеет вид –2 = 2x; x – –1. Получили пару (–1; 0). Для того чтобы найти решение уравнения с двумя переменными, нужно подставить в него произвольное значение одной переменной и решить уравнение с одним неизвестным относительно второй. График уравнения с двумя переменными Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек, координаты которых служат решениями этого уравнения. Например, график линейного уравнения ax + Ьу + c – 0 представляет собой прямую; график уравнения у – ax2 + bx + c — параболу; график уравнения xy –– k (k Ф 0) — гиперболу. Графиком уравнения x2 + у2 – r2, где x и у — переменные, r — положительное число, является окружность с центром в начале координат и радиусом, равным r. Графиком уравнения (x – a)2 + (у – b)2 = r2, где x и у — переменные, r, a и b — числа (r > 0), является окружность с центром в точке (a; b) и радиусом r. Пример 4. у – x2 – 2x + 1 Графиком уравнения является парабола (подробнее о построении парабол см. п. 5.1.7) xy – 3 Графиком уравнения является гипербола (подробнее о построении гипербол см. п. 5.1.6) Графиком уравнения является окружность с центром в точке (1; –2) и радиусом, равным 2 (подробнее см. п. 6.2.5) График линейного уравнения с двумя переменными Множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями уравнения ax + by – c, называется графиком линейного уравнения ax + by + c – 0. График этого уравнения – прямая, проходящая через начало координат . График этого уравнения ––– прямая, параллельная оси О. График этого уравнения – прямая, параллельная оси Ox | | 0 12 3 a – 0; b – 0; c Ф 0 Уравнение решений не имеет Рассмотрим более сложные примеры. Пример 5. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению: а) (x – 2)(y + 1) = 0; б) (y – 2)2 = (x + 1)2. Решение: а) Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы одно из них обращается в нуль, т. е. x – 2 = 0 или у + 1 = 0, т. е. x – 2 или у – –1. Графиком такого уравнения являются две прямые вида x = 2 и у = –1. риС_ 31 б) (y – 2)2 = (x + 1)2, тогда (y – 2) = (x + 1) или y – 2 = = x + 1 или y – 2 = –x – 1. Получаем объединение двух прямых y – x + 3 и y – –x + 1. 3.1.7. Система уравнений; решение системы уравнений с двумя переменными Системой уравнений называются два или более уравнения, у которых необходимо найти все общие решения. Уравнения системы записывают столбиком и объединяют фигурной скобкой. Например, Число переменных в системе может не равняться числу уравнений. Решить систему означает найти все ее решения. Система называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если она имеет бесконечное число решений. Две системы называют равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. [x + 3у = 5, „ „ Например, система является линейной. [–2x + у = –3 Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара чисел, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Например, пара чисел (–2; 1) является решением системы Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая, поэтому количество решений системы линейных уравнений зависит от взаимного расположения двух прямых, являющихся графиками соответствующих уравнений. Количество решений линейной системы двух уравнений с двумя переменными в зависимости от коэффициентов при неизвестных. [a1x + by = с1, Пусть даная система линейных уравнений: Пример 1. В линейном уравнении найти значение х, которое является корнем уравнения 2х – у – 5 при у – –3. Решение: Подставим значение у – –3 в уравнение, получим 2х – (–3) = 5; 2х + 3 = 5; 2х = 2; х – 1. Ответ: 1. Пример 2. Дана система уравнений: х2 + у = –1, 2х + 3у = –4. Из пар чисел найти ту, которая удовлетворяет этой системе: а) (–1; 2); б) (1; –2); б) х = 1; у = –2. Решение: Пример 3. Известно, что пара чисел х – –3; у – 1 является решением системы [ах – 3у = –9, уравнений: [ Найти а и b. Решение: По условию х= –3, у – 1 — решение системы уравнений, т. е. при подстановке этих чисел в уравнения получим верные равенства. Подставим эти числа в систему: Ответ: а – 2, b – 5. Пример 4. Сколько решений имеет система уравнений? Решение: 3.1.8. Система двух линейных уравнений с двумя переменными: решение подстановкой и алгебраическим сложением Система уравнений вида [а1х + Ь1у = c1, [а2х + Ь2у — С2; называется линейной системой уравнений с переменными х и у; а1, b1, c1 и а2, b2, c2 — некоторые числа. Основные методы решения систем двух линейных уравнений Графический способ Чтобы решить систему линейных уравнений графическим способом, необходимо: 1) построить графики уравнений в одной координатной плоскости; 2) найти координаты точек пересечения графиков или убедиться в том, что графики не пересекаются (параллельны) или совпадают; 3) если координаты точек пересечения — целые числа, сделать проверку; если нет, то определить приближенно, могут ли полученные числа являться решениями; 4) записать ответ. Пример 1. Решить графически систему уравнений: ( [3x + 2у = 7. Решение: Построим графики функций: x – у – 4; y – x – 4. Точка пересечения графиков x – 3, у – –1. (х – у = 4, Сделаем проверку: ( 3 – (–1) = 4; [3х + 2у = 7; 3 • 3 + 2 • (–1) = 7 — верно. Ответ: (3; –1). Способ подстановки для решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными Чтобы решить систему линейных уравнений способом подстановки, необходимо: 1) выразить одну переменную из какого–либо уравнения системы через другую; 2) подставить вместо этой переменной в другое уравнение полученное выражение; 3) решить полученное уравнение с одной переменной; 4) найти соответственное значение другой переменной; 5) записать ответ. ^ (3х + 4у = –3, Пример 2. Решить систему уравнений способом подстановки: ( [у – 3х = 18. Решение: Из второго уравнения системы выразим у и подставим это выражение в первое уравнение: у – 3х = 18; у – 3х + 18; 3x + 4(3x + 18) = –3. Решим полученное уравнение с одной переменной: 3x + 12x + 72 = –3; 15x = –75; x – –5. Найдем соответственное значение у: у = 3х + 18 = 3 • (–5) + 18 = 3. Ответ: (–5; 3). Способ сложения для решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными [2х + у = 7, Пример 3. Решить систему уравнений способом сложения: 13х у — 2. Решение: В уравнениях этой системы коэффициенты при у являются противоположными числами. Сложим почленно левые и правые части уравнений: (3х – у — –2, Подставим x – 1 в первое уравнение: 2 • 1 + у – 7; у – 5. Ответ: (1; 5). Пример 4. Решить систему уравнений способом сложения: Решение: Умножим обе части обоих уравнений на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами, например, первое уравнение умножим почленно на 2, а второе — на –3: Подставим у – 2 в первое уравнение: 6х + 5 • 2 = –8; 6х = –8 – 10; x – –3. Ответ: (–3; 2). Решение систем линейных уравнений, содержащих переменную под знаком модуля Пример 5. Решить систему уравнений: |х + |у| — 1. Решение: Ответ: (0; 1). Пример 6. Решить систему уравнений: Решение: По определению модуля: Имеем совокупность четырех систем уравнений: Итак, при а Ф 1, а Ф –3 система имеет единственное решение, найдем его. Из первого уравнения выразим у: у – (а + 1)х – а; у – ах + х – а. Подставим это значение во второе уравнение: Разложим на множители многочлены относительно а в левой и правой части: Ответ: а) если а Ф 1; а Ф –3, система имеет единственное решение вида а—3; а + 1 |; б) если а – –3, система имеет бесчисленное множество а – 1 1 – а ) решений; в) если а — 1, система решений не имеет. 3.1.9. Уравнения и системы уравнений с несколькими переменными (уравнения в целых числах) Уравнения с двумя и более переменными вида f(х; у) = ф(х; у) (с двумя переменными), f(х; у; z) – ф(х; у; z) (с тремя переменными), где f и ф — выражения с этими переменными, часто необходимо уметь решать в задачах с целочисленными значениями. Пример 1. Учащиеся 9 класса собирали грибы, всего собрали 217 грибов, причем каждый собрал одинаковое количество. Сколько учеников приехало за грибами, если их было больше 10 человек? Решение: Пусть х учеников собрали каждый по у грибов, тогда ху – 217 или х –217 у ‘ Поскольку количество учащихся — это целое число, у — делитель числа 217. Число 217 имеет делители: 1, 7 и 31. Так как число учеников более 10, то их было 31. Ответ: 31. Рассмотрим еще несколько методов решения уравнений с двумя переменными в целых числах. Пример 2. Найти целочисленные решения уравнения 2х2 – ху – у2 = 5. Решение: Разложим левую часть на множители: 2х2 – ху – у2 – 2х2 + ху – 2ху – у2 – х(2х + у) – у(2х + у) = (х – у)(2х + у). Получим уравнение (х – у)(2х + у) = 5. Число 5 можно представить в виде произведения двух целых чисел, с учетом порядка, четырьмя способами: 5 = 1 • 5; 5 = 5 • 1; 5 = (–1) • (–5) и 5 = (–5) • (–1). Получим четыре системы: Все системы имеют целочисленные решения, соответственно: (2; 1); (2; –3); (–2; –1); (–2; 3). Пример 3. Решить уравнение в целых числах: 2х2 – 2ху + 9х + у – 2. Решение: Выразим у через х: Полученная дробь — неправильная, поскольку степень числителя больше степени знаменателя. Выделим целую часть: Поскольку х и у — целые числа, должно быть целым числом. Это возможно, если выражение 2х – 1 является делителем числа 3, т. е. ±1 и ±3. Получим: Ответ: (1; 9); (0; 2); (2; 8); (–1; 3). Системы уравнений с тремя переменными Рассмотрим способы решения системы трех уравнений с тремя неизвестными. у + z — 3, Пример 4. Решить систему уравнений: [ z + х — –5, х + у — 4. Решение: Систему этих линейных уравнений можно решать способом подстановки или способом сложения. Ответ: (–2; 6; –3). Пример 5. Решить систему уравнений: [ xz — 3, Решение: Перемножим соответствующие части всех трех уравнений: Заметим, что каждая тройка решений должна содержать числа одного знака, поскольку попарные произведения этих значений положительны. Ответ: f 4,5; 6; 31 и ^–4,5; – 6; – 21. 3.1.10. Решение простейших нелинейных систем уравнений с двумя переменными Нелинейные системы уравнений так же, как и линейные, решаются способом подстановки и алгебраического сложения. Кроме этого применяются метод замены переменной, почленное умножение и деление уравнений. Способ подстановки х(у +1) — 16, Пример 1. Решить систему уравнений: Решение: Заметим, что при у – –1 система решений не имеет. Выразим х из второго уравнения: х – 4(у + 1), подставим это выражение в первое уравнение: 4(у + 1)(у + 1) = 16; (у + 1)2 = 4. Это уравнение равносильно совокупности уравнений: Ответ: (8; 1) и (–8; –3). Пример 2. Решить систему уравнений: Решение: Применим к первому уравнению формулу разности кубов: (х – у)(х2 + ху + у2) – 124, но из второго уравнения: х2 + ху + у2 = 31. Подставим это значение в первое уравнение: Метод алгебраического сложения Пример 3. Решить систему уравнений: Решение: Сложим и вычтем почленно уравнения: Получим равносильную систему уравнений: Выразим из первого уравнения х – у + 1, подставим во второе уравнение: у(у + 1) = 6; у2 + у – 6 = 0; у1 = –3; у2 = 2; Пример 4. Решить систему уравнений: \ Решение: Сложим почленно уравнения, получим: Сумма квадратов двух выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю: Значит, x – –1 и y – –1. Ответ: (–1; –1). Метод почленного умножения и деления систем уравнений Решение: Почленно умножим и разделим уравнения (x Ф 0, y Ф 0): Пример 5. Решить систему уравнений: Из данной системы получим совокупность четырех систем уравнений. Учтем, что x и y одного знака. Тогда: 1 2y2 – 2; y – ±1; x – ±2. Ответ: (2; 1) и (–2; –1). Метод замены переменной Метод замены переменной — наиболее универсальный метод, который применяется для решения различных систем уравнений. Пример 6. Решить систему уравнений методом замены переменной: Сделаем замену переменной: Решение: 1 = t, Получим систему: Подставим t = –1 в первое уравнение: –3 + z — 2; z – 1. Вернемся к начальным переменным: Сложим почленно: [2х – у — 1, Подставим значение x в первое уравнение: –2 + y – –5; y – –3. Ответ: (–1; –3). Методом замены переменной можно пользоваться и тогда, когда замену целесообразно сделать сначала только в одном из уравнений. Используем этот метод для решения систем иррациональных уравнений. Пример 7. Решить систему уравнений: Решение: Сделаем замену переменной только в первом уравнении и решим это уравнение: Получим систему: Подставим вместо 12x выражение –13y. –13y • y – (–13y) • 6 – 72y = 72; Если в системе уравнений замена x на y и y на x приводит к той же системе, то такие системы называются симметрическими. Их решают методом замены переменной вида: Пример 8. Решить симметрическую систему уравнений: Решение: Преобразуем систему следующим образом: Сделаем замену переменной: получим: Получим совокупность систем: Система решений не имеет. Ответ: (2; 1) и (1; 2). Система имеет решения (2; 1) и (1; 2). Уравнение называется однородным, если все члены уравнения — одночлены одной и той же степени, а правая часть уравнения равна нулю. Например, 2x – y – 0 — однородное уравнение первой степени; 3×2 + 2xy – y2 = 0 — однородное уравнение второй степени. Системы однородных уравнений и сводящиеся к ним решаются методом почленного деления и замены переменной. I х2 – 3ху + 2у2 — 0, Пример 9. Решить систему уравнений: [х2 + у2 — 20. Решение: Очевидно, что первое уравнение системы — однородное уравнение второй степени. Разделим его почленно на y2 (это возможно, поскольку пара x – 0, y – 0 не является решением системы). Замена: = t, тогда t2 – 3t + 2 = 0; t1 = 2; t2 = 1, т. е. = 2 или = 1. Получим совокупность систем: х — 2, Ответ: (4; 2); (–4; –2); ((0; \Я0); (–(0; – ). Пример 10. Решить систему уравнений: [ Решение: Рассмотрим два случая: Получим совокупность двух систем: Решим их способом подстановки: По определению модуля: |xl — Ответ: (3; 1); | 12; –1J; (–3; –1) и |–1|; –1 |. Исследование нелинейных систем уравнений (системы уравнений с параметром) Пример 11. Решить систему уравнений: Г , где а — параметр. Исключим параметр а из данной системы. Из первого уравнения имеем: а – 2 – x – y. Подставим значение а во второе уравнение: 2xy = 4 + (2 – x – y)2. Воспользуемся формулой: (а + b + c)2 = а2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. Тогда уравнение примет вид: Сумма квадратов выражений равна нулю, если каждое из выражений равно нулю, т. е. x – 2, y – 2. Подставим эти значения в первое уравнение: Ответ: система имеет единственное решение при а – 2, это решение (2; 2). Пример 12. Решить систему уравнений: где а — параметр. Решение: Оба уравнения системы являются квадратными относительно переменной x при условии, что а Ф 0. Дискриминант первого уравнения: — — у2 – а2. Дискриминант второго уравнения: — а2 – у2. Так как система имеет решение при одновременном выполнении равенств D1 > 0 и D2 > 0, то приходим к соотношению y2 – а2 – 0 или y2 = а2. Второе уравнение системы приобретает вид: x2 – 2ax + а2 = 0 или (x – а)2 = 0, x – а. Рассмотрим ситуации: а) y = а. Первое уравнение системы ax2 – 2ax + а – 0 а^ – 1)2 = 0